Mantendo em mente o exercício anterior, explique como o Teorema do valor intermediário pode ser usado para encontrar uma aproximação de
. Encontre uma aproximação com erro menor que 0,2 .
Passo 1
Ok, vamos lá! A gente precisa encontrar uma aproximação de
usando o Teorema do Valor Intermediário. Esse teorema basicamente diz que se uma função contínua passa de um valor negativo para um positivo em um intervalo, ela deve passar por zero em algum ponto desse intervalo. Aqui, vamos usar isso para achar um número cuja raiz cúbica seja próxima de 2, com um erro menor que 0,2. Vamos precisar da função
e entender como ela se comporta em certos intervalos.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher dois números onde a função
muda de sinal. Isso ajuda a garantir, pelo Teorema do Valor Intermediário, que existe uma raiz entre esses dois números. Vamos testar
e
:
- Para
: - Para
:
Como
é negativo e
é positivo, sabemos que existe uma raiz entre 1 e 2. Ou seja,
está entre 1 e 2.
Passo 3
Agora, para refinar nossa aproximação e reduzir o erro, vamos dividir o intervalo em partes menores e ver onde a função muda de sinal. Vamos tentar
:
- Para
:
Como
é positivo, sabemos que a raiz está entre 1 e 1,5. Agora, o intervalo é de 0,5 unidades de tamanho, e queremos um erro menor que 0,2. Vamos dividir novamente.
Passo 4
Vamos tentar
:
- Para
:
Agora,
é negativo e
é positivo. Então, a raiz está entre 1,25 e 1,5. Esse intervalo tem 0,25 de largura, que já é menor que 0,2 + 0,05. Mas para garantir um erro menor que 0,2, podemos parar por aqui ou refinar mais um pouco.
Resposta
Portanto, uma aproximação de
com erro menor que 0,2 é
.
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Resolva as seguintes equações de Ricatti; onde
é uma solução conhecida da equação diferencial.
(1) Rpt.
(2) Rpt.
(1)
(2)
Descreva e esboce o domínio da função real de duas ou três variáveis:
Descreva e esboce o domínio da função real de duas ou três variáveis: