Resolva as seguintes equações de Ricatti; onde y1 é uma solução conhecida da equação diferencial.
(1) y^prime=2-2 x y+y^2 ; y1=2 x Rpt. y=2 x+e^x^2c-integral x e^t^2 d t
(2) y^prime=-4x^2-yx+y^2 ; y1=2x Rpt. y=2x+1c x^-3-x / 4

Passo 1

Beleza, vamos resolver duas equações de Riccati aqui. Essas são equações diferenciais que têm a forma geral . Para resolver, vamos precisar de uma solução conhecida da equação, que nos ajuda a encontrar a solução geral. No nosso caso, já temos uma solução para cada equação, então vamos usar isso para encontrar as soluções completas.

Passo 2

Vamos começar com a primeira equação:
y' = 2 - 2xy + y^2
E a solução conhecida é .
Primeiro, substituímos onde é uma função que precisamos encontrar. Isso simplifica a equação de Riccati para uma equação linear em .

Passo 3

Substituindo y' = 2 - 2x(2x + 1u) + (2x + 1u)^2 na equação original:
y' = 2 + 2xu + 1u^2
Vamos simplificar cada termo:
  • y' = 2x' + ( 1u )' = 2 + ( -u'u^2 )
  • Cancelando os termos semelhantes, fica:
2 + 2xu + 1u^2 = 2 - u'u^2
Igualando a isso o da substituição:
Assim, temos:

Passo 4

Simplificando a equação:
2xu + 1u^2 = -u'u^2
Multiplicando ambos os lados por 2xu + 1 = -u' :
u' + 2xu = -1
Ou seja:

Passo 5

Agora, temos uma equação linear para u' + 2xu = -1 :
mu(x) = e^integral 2x dx = e^x^2
Vamos resolver essa equação usando o fator integrante. O fator integrante e^x^2u' + 2xe^x^2u = -e^x^2 é dado por:
ddx(e^x^2u) = -e^x^2
Multiplicando toda a equação por :
Isso simplifica para:

Passo 6

Integrando ambos os lados:
e^x^2u = -integral e^x^2 dx + C
Onde u = -integral e^x^2 dxe^x^2 + Ce^x^2 é a constante de integração.
Como a integral de não tem uma forma fechada em termos de funções elementares, deixamos a integral como está.
Então:

Passo 7

Voltando à substituição original y = 2x + 1 -integral e^x^2 dxe^x^2 + Ce^x^2 , substituímos y = 2x + e^x^2C - integral x e^x^2 dt :
Simplificando:

Passo 8

Agora, vamos para a segunda equação:
y' = -4x^2 - yx + y^2
E a solução conhecida é .
Vamos usar o mesmo método, substituindo para simplificar a equação.

Passo 9

Substituindo y' = -4x^2 - 2x + 1ux + ( 2x + 1u )^2 na equação original:
y' = -2x^2 + 3x u + 1u^2
Simplificando cada termo:
  • y' = -2x^2 + ( 1u )' = -2x^2 - u'u^2
  • Reduzindo:
Igualando ao da substituição:

Passo 10

Então, temos:
-2x^2 + 3x u + 1u^2 = -2x^2 - u'u^2
Simplificando:
3x u + 1u^2 = -u'u^2
Multiplicando ambos os lados por 3u x^-1 + 1 = -u' :
u' + 3xu = -1
Ou seja:

Passo 11

Agora, temos a equação linear para u' + 3xu = -1 :
mu(x) = e^integral 3x dx = e^3 ln x = x^3
Vamos resolver usando o fator integrante. O fator integrante x^3 u' + 3x^2 u = -x^3 é:
ddx(x^3 u) = -x^3
Multiplicando toda a equação por :
Isso simplifica para:

Passo 12

Integrando ambos os lados:
x^3 u = -integral x^3 dx + C
x^3 u = -x^44 + C
Resolvendo para u = -x4 + Cx^3 :

Passo 13

Voltando à substituição y = 2x + 1 -x4 + Cx^3 :
y = 2x + 1Cx^3 - x4
Simplificando:
y = 2x + 1C - x^44x^3
y = 2x + x^3C - x^44
y = 2x + 1C x^-3 - x4

Resposta

A solução geral da segunda equação de Riccati é:
y = 2x + 1c x^-3 - x4

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