Resolva as seguintes equações de Ricatti; onde
é uma solução conhecida da equação diferencial.
(1)
Rpt.
(2)
Rpt.
(1)
(2)
Passo 1
Beleza, vamos resolver duas equações de Riccati aqui. Essas são equações diferenciais que têm a forma geral
. Para resolver, vamos precisar de uma solução conhecida da equação, que nos ajuda a encontrar a solução geral. No nosso caso, já temos uma solução
para cada equação, então vamos usar isso para encontrar as soluções completas.
Passo 2
Vamos começar com a primeira equação:
E a solução conhecida é
.
Primeiro, substituímos
onde
é uma função que precisamos encontrar. Isso simplifica a equação de Riccati para uma equação linear em
.
Passo 3
Substituindo
na equação original:
Vamos simplificar cada termo:
-
- Cancelando os termos semelhantes, fica:
Igualando a isso o
da substituição:
Assim, temos:
Passo 4
Simplificando a equação:
Multiplicando ambos os lados por
:
Ou seja:
Passo 5
Agora, temos uma equação linear para
:
Vamos resolver essa equação usando o fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Multiplicando toda a equação por
:
Isso simplifica para:
Passo 6
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração.
Como a integral de
não tem uma forma fechada em termos de funções elementares, deixamos a integral como está.
Então:
Passo 7
Voltando à substituição original
, substituímos
:
Simplificando:
Passo 8
Agora, vamos para a segunda equação:
E a solução conhecida é
.
Vamos usar o mesmo método, substituindo
para simplificar a equação.
Passo 9
Substituindo
na equação original:
Simplificando cada termo:
-
- Reduzindo:
Igualando ao
da substituição:
Passo 10
Então, temos:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por
:
Ou seja:
Passo 11
Agora, temos a equação linear para
:
Vamos resolver usando o fator integrante. O fator integrante
é:
Multiplicando toda a equação por
:
Isso simplifica para:
Passo 12
Integrando ambos os lados:
Resolvendo para
:
Passo 13
Voltando à substituição
:
Simplificando:
Resposta
A solução geral da segunda equação de Riccati é:
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sujeita às condições:
Mantendo em mente o exercício anterior, explique como o Teorema do valor intermediário pode ser usado para encontrar uma aproximação de
. Encontre uma aproximação com erro menor que 0,2 .
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