Descreva o espaço-coluna e o espaço nulo das seguintes matrizes:
A=(cc 1 & -1 0 & 0 ), B=(ccc 0 & 0 & 3 1 & 2 & 3 ), C=(lll 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 )

Passo 1

E aí! Vamos resolver esse exercício que pede para descrever o espaço-coluna e o espaço nulo das matrizes , e . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente nos tópicos de Espaços Vetoriais. Para resolver, a gente vai precisar entender o que são espaço-coluna e espaço nulo, além de saber como encontrar a base e a solução para sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos falar rapidinho sobre o que é espaço-coluna. O espaço-coluna de uma matriz é o conjunto de todas as combinações lineares das colunas da matriz. Basicamente, ele mostra todas as direções que as colunas da matriz apontam no espaço vetorial. Já o espaço nulo é o conjunto de todos os vetores que satisfazem a equação , ou seja, são soluções do sistema homogêneo associado à matriz.

Passo 3

Vamos começar com a matriz A = 1 & -1 0 & 0 :
1 0
Para encontrar o espaço-coluna, observamos as colunas de -1 0 . A primeira coluna é e a segunda é . Note que a segunda coluna é apenas -1 vezes a primeira. Então, o espaço-coluna de é gerado por uma única coluna, ou seja, é uma linha no espaço.

Passo 4

Agora, para encontrar o espaço nulo de 1 & -1 0 & 0 x1 x2 = 0 0 , temos que resolver 1 1 :
[


]
Isso nos dá a equação , ou seja, . Assim, todas as soluções são múltiplos de .

Passo 5

Agora vamos para a matriz B = 0 & 0 & 3 1 & 2 & 3 :
0 1
Para o espaço-coluna, olhamos para as colunas de 0 2 . As colunas são 3 3 , e . A segunda coluna é 2 vezes a primeira, e a terceira coluna não é combinação das primeiras. Então, as colunas 1 e 3 são lineares e formam a base do espaço-coluna.

Passo 6

Para o espaço nulo de 0 & 0 & 3 1 & 2 & 3 x1 x2 x3 = 0 0 , resolvemos 3 x3 = 0 x1 + 2 x2 + 3 x3 = 0 :
[
-2 x2 x2 0
-2 1 0


]
Isso nos dá o sistema:
De onde e . Então, as soluções são da forma .

Passo 7

Por fim, vamos para a matriz C = 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 :
O espaço-coluna de é o conjunto de todas as combinações lineares das colunas, mas como todas são zero, o espaço-coluna é apenas o vetor zero. Já o espaço nulo de é todo o espaço , já que qualquer vetor multiplicado por a matriz zero resulta no vetor zero.

Resposta

Matriz 1 0 :
  • Espaço-coluna: 1 1
  • Espaço nulo: 0 1
Matriz 3 3 :
  • Espaço-coluna: -2 1 0
  • Espaço nulo: 0 0
Matriz :
  • Espaço-coluna:
  • Espaço nulo:

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