Descreva o espaço-coluna e o espaço nulo das seguintes matrizes:

Passo 1

E aí! Vamos resolver esse exercício que pede para descrever o espaço-coluna e o espaço nulo das matrizes , e . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente nos tópicos de Espaços Vetoriais. Para resolver, a gente vai precisar entender o que são espaço-coluna e espaço nulo, além de saber como encontrar a base e a solução para sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos falar rapidinho sobre o que é espaço-coluna. O espaço-coluna de uma matriz é o conjunto de todas as combinações lineares das colunas da matriz. Basicamente, ele mostra todas as direções que as colunas da matriz apontam no espaço vetorial. Já o espaço nulo é o conjunto de todos os vetores que satisfazem a equação , ou seja, são soluções do sistema homogêneo associado à matriz.

Passo 3

Vamos começar com a matriz :
Para encontrar o espaço-coluna, observamos as colunas de . A primeira coluna é e a segunda é . Note que a segunda coluna é apenas -1 vezes a primeira. Então, o espaço-coluna de é gerado por uma única coluna, ou seja, é uma linha no espaço.

Passo 4

Agora, para encontrar o espaço nulo de , temos que resolver :
[


]
Isso nos dá a equação , ou seja, . Assim, todas as soluções são múltiplos de .

Passo 5

Agora vamos para a matriz :
Para o espaço-coluna, olhamos para as colunas de . As colunas são , e . A segunda coluna é 2 vezes a primeira, e a terceira coluna não é combinação das primeiras. Então, as colunas 1 e 3 são lineares e formam a base do espaço-coluna.

Passo 6

Para o espaço nulo de , resolvemos :
[


]
Isso nos dá o sistema:
De onde e . Então, as soluções são da forma .

Passo 7

Por fim, vamos para a matriz :
O espaço-coluna de é o conjunto de todas as combinações lineares das colunas, mas como todas são zero, o espaço-coluna é apenas o vetor zero. Já o espaço nulo de é todo o espaço , já que qualquer vetor multiplicado por a matriz zero resulta no vetor zero.

Resposta

Matriz :
  • Espaço-coluna:
  • Espaço nulo:
Matriz :
  • Espaço-coluna:
  • Espaço nulo:
Matriz :
  • Espaço-coluna:
  • Espaço nulo:

Exercícios relacionados

Verifique se cada uma das seguintes afirmações é Verdadeira ou Falsa. Se for verdadeira, prove. Se for falsa, dê um contra-exemplo.
(d) Se é simétrica então para toda matriz
Quais dos seguintes subconjuntos de são subespaços de ?
O conjunto dos vetores tais que .
Verdadeiro ou falso? Sempre justifique. Para {matrizes 3 por 3 com entradas reais :
( ) As matrizes que possuem em seu espaço nulo formam um subespaço.
Quais das seguintes descrições (pode haver mais de uma) estão corretas? As soluções de
formam
o espaço nulo de