Descreva o espaço-coluna e o espaço nulo das seguintes matrizes:
Passo 1
E aí! Vamos resolver esse exercício que pede para descrever o espaço-coluna e o espaço nulo das matrizes , e . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente nos tópicos de Espaços Vetoriais. Para resolver, a gente vai precisar entender o que são espaço-coluna e espaço nulo, além de saber como encontrar a base e a solução para sistemas lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos falar rapidinho sobre o que é espaço-coluna. O espaço-coluna de uma matriz é o conjunto de todas as combinações lineares das colunas da matriz. Basicamente, ele mostra todas as direções que as colunas da matriz apontam no espaço vetorial. Já o espaço nulo é o conjunto de todos os vetores que satisfazem a equação , ou seja, são soluções do sistema homogêneo associado à matriz.
Passo 3
Vamos começar com a matriz :
Para encontrar o espaço-coluna, observamos as colunas de . A primeira coluna é e a segunda é . Note que a segunda coluna é apenas -1 vezes a primeira. Então, o espaço-coluna de é gerado por uma única coluna, ou seja, é uma linha no espaço.
Passo 4
Agora, para encontrar o espaço nulo de , temos que resolver :
[
]
Isso nos dá a equação , ou seja, . Assim, todas as soluções são múltiplos de .
Passo 5
Agora vamos para a matriz :
Para o espaço-coluna, olhamos para as colunas de . As colunas são , e . A segunda coluna é 2 vezes a primeira, e a terceira coluna não é combinação das primeiras. Então, as colunas 1 e 3 são lineares e formam a base do espaço-coluna.
Passo 6
Para o espaço nulo de , resolvemos :
[
]
Isso nos dá o sistema:
De onde e . Então, as soluções são da forma .
Passo 7
Por fim, vamos para a matriz :
O espaço-coluna de é o conjunto de todas as combinações lineares das colunas, mas como todas são zero, o espaço-coluna é apenas o vetor zero. Já o espaço nulo de é todo o espaço , já que qualquer vetor multiplicado por a matriz zero resulta no vetor zero.