Quais dos seguintes subconjuntos de
são subespaços de
?
O conjunto dos vetores
tais que
.
O conjunto dos vetores
Passo 1
Então, a gente tem um exercício que pergunta se um certo conjunto de vetores em
é um subespaço desse espaço. Nosso conjunto é formado por vetores
onde o produto
. Para resolver isso, vamos precisar lembrar o que define um subespaço e checar se nosso conjunto atende a essas condições.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um subespaço de
precisa satisfazer três condições:
- Contém o vetor zero.
- É fechado sob adição de vetores.
- É fechado sob multiplicação por escalar.
Vamos verificar cada uma dessas condições para o nosso conjunto.
Passo 3
1. Vetor zero: O vetor zero em
é
. Vamos ver se ele pertence ao nosso conjunto:
Sim, o vetor zero satisfaz a condição
, então ele está no conjunto.
Passo 4
2. Fechamento sob adição: Vamos pegar dois vetores quaisquer do conjunto, digamos
e
, onde
e
. Agora, somamos esses vetores:
Para que o conjunto seja fechado sob adição, o produto dos segundos e terceiros componentes desse vetor somado deve ser zero:
Mas, se por exemplo
e
, temos:
Isso nem sempre será zero, a menos que
ou
, o que não é garantido. Portanto, o conjunto não é fechado sob adição.
Passo 5
3. Fechamento sob multiplicação por escalar: Mesmo que o conjunto já não seja fechado sob adição, vamos verificar essa condição para completar a análise. Pegamos um vetor
no conjunto e multiplicamos por um escalar
:
Verificamos se
:
Como
, então
, então o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Como o conjunto não é fechado sob adição de vetores, ele não é um subespaço de
.
Exercícios relacionados
Verifique se cada uma das seguintes afirmações é Verdadeira ou Falsa. Se for verdadeira, prove. Se for falsa, dê um contra-exemplo.
© Se é matriz
, então
possui infinitas soluções.
© Se
Quais dos seguintes subconjuntos de
são subespaços de
?
O plano dos vetores com primeira componente
.
O plano dos vetores
Verifique se cada uma das seguintes afirmações é Verdadeira ou Falsa. Se for verdadeira, prove. Se for falsa, dê um contra-exemplo.
(d) Se é simétrica então
para toda matriz
(d) Se
Descreva o espaço-coluna e o espaço nulo das seguintes matrizes: