Quais dos seguintes subconjuntos de são subespaços de ?
O conjunto dos vetores tais que .

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pergunta se um certo conjunto de vetores em é um subespaço desse espaço. Nosso conjunto é formado por vetores onde o produto . Para resolver isso, vamos precisar lembrar o que define um subespaço e checar se nosso conjunto atende a essas condições.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um subespaço de precisa satisfazer três condições:
  1. Contém o vetor zero.
  2. É fechado sob adição de vetores.
  3. É fechado sob multiplicação por escalar.
Vamos verificar cada uma dessas condições para o nosso conjunto.

Passo 3

1. Vetor zero: O vetor zero em é . Vamos ver se ele pertence ao nosso conjunto:
Sim, o vetor zero satisfaz a condição , então ele está no conjunto.

Passo 4

2. Fechamento sob adição: Vamos pegar dois vetores quaisquer do conjunto, digamos e , onde e . Agora, somamos esses vetores:
Para que o conjunto seja fechado sob adição, o produto dos segundos e terceiros componentes desse vetor somado deve ser zero:
Mas, se por exemplo e , temos:
Isso nem sempre será zero, a menos que ou , o que não é garantido. Portanto, o conjunto não é fechado sob adição.

Passo 5

3. Fechamento sob multiplicação por escalar: Mesmo que o conjunto já não seja fechado sob adição, vamos verificar essa condição para completar a análise. Pegamos um vetor no conjunto e multiplicamos por um escalar :
Verificamos se :
Como , então , então o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Como o conjunto não é fechado sob adição de vetores, ele não é um subespaço de .

Exercícios relacionados

Verifique se cada uma das seguintes afirmações é Verdadeira ou Falsa. Se for verdadeira, prove. Se for falsa, dê um contra-exemplo.
© Se é matriz , então possui infinitas soluções.
Quais dos seguintes subconjuntos de são subespaços de ?
O plano dos vetores com primeira componente .
Verifique se cada uma das seguintes afirmações é Verdadeira ou Falsa. Se for verdadeira, prove. Se for falsa, dê um contra-exemplo.
(d) Se é simétrica então para toda matriz
Descreva o espaço-coluna e o espaço nulo das seguintes matrizes: