Quais dos seguintes subconjuntos de R^3 são subespaços de R^3 ?
O conjunto dos vetores (b1, b2, b3) tais que b2 b3=0.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pergunta se um certo conjunto de vetores em é um subespaço desse espaço. Nosso conjunto é formado por vetores onde o produto . Para resolver isso, vamos precisar lembrar o que define um subespaço e checar se nosso conjunto atende a essas condições.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um subespaço de precisa satisfazer três condições:
  1. Contém o vetor zero.
  2. É fechado sob adição de vetores.
  3. É fechado sob multiplicação por escalar.
Vamos verificar cada uma dessas condições para o nosso conjunto.

Passo 3

1. Vetor zero: O vetor zero em b2 times b3 = 0 times 0 = 0 é . Vamos ver se ele pertence ao nosso conjunto:
Sim, o vetor zero satisfaz a condição , então ele está no conjunto.

Passo 4

2. Fechamento sob adição: Vamos pegar dois vetores quaisquer do conjunto, digamos (b1 + c1, b2 + c2, b3 + c3) e (b2 + c2)(b3 + c3) = 0 , onde (0 + c2)(b3 + 0) = c2 b3 e . Agora, somamos esses vetores:
Para que o conjunto seja fechado sob adição, o produto dos segundos e terceiros componentes desse vetor somado deve ser zero:
Mas, se por exemplo e , temos:
Isso nem sempre será zero, a menos que ou , o que não é garantido. Portanto, o conjunto não é fechado sob adição.

Passo 5

3. Fechamento sob multiplicação por escalar: Mesmo que o conjunto já não seja fechado sob adição, vamos verificar essa condição para completar a análise. Pegamos um vetor (k b1, k b2, k b3) no conjunto e multiplicamos por um escalar (k b2)(k b3) = k^2 (b2 b3) :
Verificamos se :
Como , então , então o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Como o conjunto não é fechado sob adição de vetores, ele não é um subespaço de .

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