Verifique se cada uma das seguintes afirmações é Verdadeira ou Falsa. Se for verdadeira, prove. Se for falsa, dê um contra-exemplo.
(d) Se é simétrica então para toda matriz

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a afirmação está dizendo. Ela diz que se é uma matriz simétrica do tamanho , então para qualquer matriz também de tamanho , o produto é igual a . O conteúdo envolvido aqui é sobre matrizes simétricas e a comutatividade de matrizes. Para resolver isso, precisamos saber o que é uma matriz simétrica e entender se, de fato, ela comuta com qualquer outra matriz.

Passo 2

Vamos recordar o que significa uma matriz ser simétrica. Uma matriz é simétrica se ela for igual à sua transposta, ou seja, . Isso implica que os elementos à posição são iguais aos elementos à posição para todos os e .

Passo 3

Agora, precisamos verificar se, sendo simétrica, o produto sempre será igual a para qualquer matriz . Em geral, a multiplicação de matrizes não é comutativa, ou seja, não é necessariamente igual a . A comutatividade depende das propriedades específicas das matrizes envolvidas.

Passo 4

Para provar que a afirmação é falsa, basta encontrarmos um contra-exemplo onde é simétrica, mas . Vamos considerar matrizes de tamanho para facilitar.

Passo 5

Vamos escolher uma matriz simétrica e uma matriz tal que .
Seja:
e
Aqui, é simétrica porque .

Passo 6

Vamos calcular :
[
AB =


]

Passo 7

Agora, vamos calcular :
[
BA =


]

Passo 8

Observamos que é igual a:
E é igual a:
Claramente, .

Resposta

A afirmação é Falsa. Um contra-exemplo é a matriz simétrica
e a matriz
onde .

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Quais dos seguintes subconjuntos de são subespaços de ?
O conjunto dos vetores tais que .
Verifique se cada uma das seguintes afirmações é Verdadeira ou Falsa. Se for verdadeira, prove. Se for falsa, dê um contra-exemplo.
© Se é matriz , então possui infinitas soluções.
Descreva o espaço-coluna e o espaço nulo das seguintes matrizes:
Verdadeiro ou falso? Sempre justifique. Para {matrizes 3 por 3 com entradas reais :
( ) As matrizes que possuem em seu espaço nulo formam um subespaço.