Verifique se cada uma das seguintes afirmações é Verdadeira ou Falsa. Se for verdadeira, prove. Se for falsa, dê um contra-exemplo.
(d) Se An times n é simétrica então A B=B A para toda matriz Bn times n

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a afirmação está dizendo. Ela diz que se A é uma matriz simétrica do tamanho n times n, então para qualquer matriz B também de tamanho n times n, o produto AB é igual a BA. O conteúdo envolvido aqui é sobre matrizes simétricas e a comutatividade de matrizes. Para resolver isso, precisamos saber o que é uma matriz simétrica e entender se, de fato, ela comuta com qualquer outra matriz.

Passo 2

Vamos recordar o que significa uma matriz ser simétrica. Uma matriz A é simétrica se ela for igual à sua transposta, ou seja, A^T = A. Isso implica que os elementos à posição (i,j) são iguais aos elementos à posição (j,i) para todos os i e j.

Passo 3

Agora, precisamos verificar se, sendo A simétrica, o produto AB sempre será igual a BA para qualquer matriz B. Em geral, a multiplicação de matrizes não é comutativa, ou seja, AB não é necessariamente igual a BA. A comutatividade depende das propriedades específicas das matrizes envolvidas.

Passo 4

Para provar que a afirmação é falsa, basta encontrarmos um contra-exemplo onde A é simétrica, mas AB neq BA. Vamos considerar matrizes de tamanho 2 times 2 para facilitar.

Passo 5

Vamos escolher uma matriz simétrica A e uma matriz B tal que AB neq BA.
Seja:
A = 1 & 1 1 & 1
e
B = 0 & 1 0 & 0
Aqui, A é simétrica porque A^T = A.

Passo 6

Vamos calcular AB:
[
AB = AB = 1 & 1 1 & 1 0 & 1 0 & 0 = (1 times 0 + 1 times 0) & (1 times 1 + 1 times 0) (1 times 0 + 1 times 0) & (1 times 1 + 1 times 0) = 0 & 1 0 & 1


]

Passo 7

Agora, vamos calcular BA:
[
BA = BA = 0 & 1 0 & 0 1 & 1 1 & 1 = (0 times 1 + 1 times 1) & (0 times 1 + 1 times 1) (0 times 1 + 0 times 1) & (0 times 1 + 0 times 1) = 1 & 1 0 & 0


]

Passo 8

Observamos que AB é igual a:
AB = 0 & 1 0 & 1
E BA é igual a:
BA = 1 & 1 0 & 0
Claramente, AB neq BA.

Resposta

A afirmação é Falsa. Um contra-exemplo é a matriz simétrica
A = 1 & 1 1 & 1
e a matriz
B = 0 & 1 0 & 0
onde AB neq BA.

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