Verifique se cada uma das seguintes afirmações é Verdadeira ou Falsa. Se for verdadeira, prove. Se for falsa, dê um contra-exemplo.
(d) Se
é simétrica então
para toda matriz
(d) Se
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a afirmação está dizendo. Ela diz que se
é uma matriz simétrica do tamanho
, então para qualquer matriz
também de tamanho
, o produto
é igual a
. O conteúdo envolvido aqui é sobre matrizes simétricas e a comutatividade de matrizes. Para resolver isso, precisamos saber o que é uma matriz simétrica e entender se, de fato, ela comuta com qualquer outra matriz.
Passo 2
Vamos recordar o que significa uma matriz ser simétrica. Uma matriz
é simétrica se ela for igual à sua transposta, ou seja,
. Isso implica que os elementos à posição
são iguais aos elementos à posição
para todos os
e
.
Passo 3
Agora, precisamos verificar se, sendo
simétrica, o produto
sempre será igual a
para qualquer matriz
. Em geral, a multiplicação de matrizes não é comutativa, ou seja,
não é necessariamente igual a
. A comutatividade depende das propriedades específicas das matrizes envolvidas.
Passo 4
Para provar que a afirmação é falsa, basta encontrarmos um contra-exemplo onde
é simétrica, mas
. Vamos considerar matrizes de tamanho
para facilitar.
Passo 5
Vamos escolher uma matriz simétrica
e uma matriz
tal que
.
Seja:
e
Aqui,
é simétrica porque
.
Passo 6
Vamos calcular
:
[
AB =
]
Passo 7
Agora, vamos calcular
:
[
BA =
]
Passo 8
Observamos que
é igual a:
E
é igual a:
Claramente,
.
Resposta
A afirmação é Falsa. Um contra-exemplo é a matriz simétrica
e a matriz
onde
.
Exercícios relacionados
Quais dos seguintes subconjuntos de
são subespaços de
?
O conjunto dos vetores tais que
.
O conjunto dos vetores
Verifique se cada uma das seguintes afirmações é Verdadeira ou Falsa. Se for verdadeira, prove. Se for falsa, dê um contra-exemplo.
© Se é matriz
, então
possui infinitas soluções.
© Se
Descreva o espaço-coluna e o espaço nulo das seguintes matrizes:
Verdadeiro ou falso? Sempre justifique. Para
{matrizes 3 por 3 com entradas reais
:
( ) As matrizes que possuem em seu espaço nulo formam um subespaço.
( ) As matrizes que possuem