Quais das seguintes descrições (pode haver mais de uma) estão corretas? As soluções de
formam
(a) um plano
(b) uma reta
© um ponto
(d) um subespaço
(e) o espaço nulo de
(f) o espaço-coluna de

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um sistema de equações lineares representado por uma matriz multiplicada por um vetor igualando a zero:
Aqui, é uma matriz e é um vetor com 3 componentes . O conteúdo principal dessa questão está relacionado ao espaço nulo e à solução de sistemas lineares homogêneos. Para resolver, vamos precisar entender conceitos como espaço nulo, subespaços vetoriais e a descrição geométrica das soluções desse sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa resolver . Isso representa encontrar todos os vetores que, quando multiplicados pela matriz , resultam no vetor zero. O conjunto de todas essas soluções forma o espaço nulo de , também conhecido como kernel de .
Matematicamente, o espaço nulo de , denotado por , é definido como:

Passo 3

Agora, vamos analisar as opções fornecidas na questão:
(a) Um plano: Em , um plano é um subespaço bidimensional que passa pela origem. Se o espaço nulo de for bidimensional, então as soluções formam um plano.
(b) Uma reta: Uma reta é um subespaço unidimensional em . Se o espaço nulo de for unidimensional, então as soluções formam uma reta.
© Um ponto: Um ponto, no contexto de espaços vetoriais, seria a única solução trivial . Isso aconteceria se o espaço nulo de for apenas o ponto zero.
(d) Um subespaço: Por definição, o espaço nulo de qualquer matriz é sempre um subespaço vetorial.
(e) O espaço nulo de : Diretamente, as soluções do sistema formam exatamente o espaço nulo de .
(f) O espaço-coluna de : O espaço-coluna de é o conjunto de todas as combinações lineares das colunas de . As soluções do sistema homogêneo não estão diretamente relacionadas ao espaço-coluna.

Passo 4

Vamos determinar a dimensão do espaço nulo de . A matriz tem 3 colunas e 2 linhas. O posto de (número máximo de colunas linearmente independentes) determina a dimensão do espaço-coluna.
Pelo Teorema da Dimensão:
Onde . Se assumirmos que as duas linhas de são linearmente independentes, então , o que implica que .
Isso significa que o espaço nulo de é unidimensional, ou seja, as soluções formam uma reta em .

Passo 5

Agora, vamos revisar cada opção com base no que descobrimos:
(a) Um plano: Não, porque o espaço nulo é unidimensional.
(b) Uma reta: Sim, correto.
© Um ponto: Não, a menos que o espaço nulo seja trivial, o que não é o caso aqui.
(d) Um subespaço: Sim, correto.
(e) O espaço nulo de : Sim, correto.
(f) O espaço-coluna de : Não, as soluções do sistema estão no espaço nulo, não no espaço-coluna.

Resposta

As descrições corretas são (b) uma reta, (d) um subespaço e (e) o espaço nulo de .

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