Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um sistema de equações lineares representado por uma matriz multiplicada por um vetor igualando a zero:
Aqui, é uma matriz e é um vetor com 3 componentes . O conteúdo principal dessa questão está relacionado ao espaço nulo e à solução de sistemas lineares homogêneos. Para resolver, vamos precisar entender conceitos como espaço nulo, subespaços vetoriais e a descrição geométrica das soluções desse sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa resolver . Isso representa encontrar todos os vetores que, quando multiplicados pela matriz , resultam no vetor zero. O conjunto de todas essas soluções forma o espaço nulo de , também conhecido como kernel de .
Matematicamente, o espaço nulo de , denotado por , é definido como:
Passo 3
Agora, vamos analisar as opções fornecidas na questão:
(a) Um plano: Em , um plano é um subespaço bidimensional que passa pela origem. Se o espaço nulo de for bidimensional, então as soluções formam um plano.
(b) Uma reta: Uma reta é um subespaço unidimensional em . Se o espaço nulo de for unidimensional, então as soluções formam uma reta.
(d) Um subespaço: Por definição, o espaço nulo de qualquer matriz é sempre um subespaço vetorial.
(e) O espaço nulo de : Diretamente, as soluções do sistema formam exatamente o espaço nulo de .
(f) O espaço-coluna de : O espaço-coluna de é o conjunto de todas as combinações lineares das colunas de . As soluções do sistema homogêneo não estão diretamente relacionadas ao espaço-coluna.
Passo 4
Vamos determinar a dimensão do espaço nulo de . A matriz tem 3 colunas e 2 linhas. O posto de (número máximo de colunas linearmente independentes) determina a dimensão do espaço-coluna.
Pelo Teorema da Dimensão:
Onde . Se assumirmos que as duas linhas de são linearmente independentes, então , o que implica que .
Isso significa que o espaço nulo de é unidimensional, ou seja, as soluções formam uma reta em .
Passo 5
Agora, vamos revisar cada opção com base no que descobrimos:
(a) Um plano: Não, porque o espaço nulo é unidimensional.