Verifique se quais das transforcões são lineares:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se a transformação , definida por , é uma transformação linear. Isso cai no conteúdo de Álgebra Linear, especificamente nas transformações lineares. Para resolver, a gente precisa lembrar quais são as propriedades que tornam uma transformação linear.

Passo 2

Primeiro, o que é uma transformação linear? Basicamente, uma função que passa vetores de um espaço vetorial para outro, preservando duas coisas importantes: adição de vetores e multiplicação por escalar. Ou seja, para quaisquer vetores e , e um número real , a transformação deve satisfazer:

Passo 3

Antes de mais nada, vamos verificar se manda o vetor zero no vetor zero. Se substituirmos , e na transformação, temos:
Isso já é um bom sinal, pois uma transformação linear deve mandar o vetor zero para o vetor zero.

Passo 4

Agora, vamos ver se a transformação preserva a adição de vetores. Seja e . Então:
Aplicando nesse vetor:
Simplificando:
Agora, vamos calcular :
Somando os dois:
Vemos que:
Então, a transformação preserva a adição.

Passo 5

Por último, vamos checar se a transformação preserva a multiplicação por escalar. Seja um número real e . Então:
Aplicando :
Por outro lado:
Então:
A transformação preserva a multiplicação por escalar.

Resposta

Como a transformação satisfaz as duas propriedades essenciais de uma transformação linear (preserva a adição de vetores e a multiplicação por escalar), podemos concluir que é uma transformação linear.

Exercícios relacionados

Quais das seguintes descrições (pode haver mais de uma) estão corretas? As soluções de
formam
(a) um plano
(b) uma reta
© um ponto
(d) um subespaço
(e) o espaço nulo de
(f) o espaço-coluna de
Descreva o espaço-coluna e o espaço nulo das seguintes matrizes:
Verifique se quais das transforcões são lineares:
Enocntrar a dimensão e uma base para cada um dos seguintes espaços vetoriais de :
;