Verifique se quais das transforcões são lineares:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se a transformação
, definida por
, é uma transformação linear. Isso cai no conteúdo de Álgebra Linear, especificamente nas transformações lineares. Para resolver, a gente precisa lembrar quais são as propriedades que tornam uma transformação linear.
Passo 2
Primeiro, o que é uma transformação linear? Basicamente, uma função
que passa vetores de um espaço vetorial para outro, preservando duas coisas importantes: adição de vetores e multiplicação por escalar. Ou seja, para quaisquer vetores
e
, e um número real
, a transformação deve satisfazer:
Passo 3
Antes de mais nada, vamos verificar se
manda o vetor zero no vetor zero. Se substituirmos
,
e
na transformação, temos:
Isso já é um bom sinal, pois uma transformação linear deve mandar o vetor zero para o vetor zero.
Passo 4
Agora, vamos ver se a transformação preserva a adição de vetores. Seja
e
. Então:
Aplicando
nesse vetor:
Simplificando:
Agora, vamos calcular
:
Somando os dois:
Vemos que:
Então, a transformação preserva a adição.
Passo 5
Por último, vamos checar se a transformação preserva a multiplicação por escalar. Seja
um número real e
. Então:
Aplicando
:
Por outro lado:
Então:
A transformação preserva a multiplicação por escalar.
Resposta
Como a transformação
satisfaz as duas propriedades essenciais de uma transformação linear (preserva a adição de vetores e a multiplicação por escalar), podemos concluir que
é uma transformação linear.