Verifique se quais das transforcões são lineares:
T: R^3 R^3, T(x, y, z)=(x+y, 2 x-z, y+z)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se a transformação , definida por , é uma transformação linear. Isso cai no conteúdo de Álgebra Linear, especificamente nas transformações lineares. Para resolver, a gente precisa lembrar quais são as propriedades que tornam uma transformação linear.

Passo 2

Primeiro, o que é uma transformação linear? Basicamente, uma função que passa vetores de um espaço vetorial para outro, preservando duas coisas importantes: adição de vetores e multiplicação por escalar. Ou seja, para quaisquer vetores e , e um número real , a transformação deve satisfazer:

Passo 3

Antes de mais nada, vamos verificar se T(0, 0, 0) = (0 + 0, 2 times 0 - 0, 0 + 0) = (0, 0, 0) manda o vetor zero no vetor zero. Se substituirmos , e na transformação, temos:
Isso já é um bom sinal, pois uma transformação linear deve mandar o vetor zero para o vetor zero.

Passo 4

Agora, vamos ver se a transformação preserva a adição de vetores. Seja u + v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) e T(u + v) = T(x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) = ((x1 + x2) + (y1 + y2), 2(x1 + x2) - (z1 + z2), (y1 + y2) + (z1 + z2)) . Então:
= (x1 + y1 + x2 + y2, 2x1 + 2x2 - z1 - z2, y1 + z1 + y2 + z2)
Aplicando T(u) = (x1 + y1, 2x1 - z1, y1 + z1) nesse vetor:
T(v) = (x2 + y2, 2x2 - z2, y2 + z2)
Simplificando:
T(u) + T(v) = (x1 + y1 + x2 + y2, 2x1 - z1 + 2x2 - z2, y1 + z1 + y2 + z2)
Agora, vamos calcular T(u + v) = T(u) + T(v) :
Somando os dois:
Vemos que:
Então, a transformação preserva a adição.

Passo 5

Por último, vamos checar se a transformação preserva a multiplicação por escalar. Seja cu = (cx, cy, cz) um número real e T(cu) = T(cx, cy, cz) = (cx + cy, 2(cx) - cz, cy + cz) = (c(x + y), c(2x - z), c(y + z)) . Então:
cT(u) = c(x + y, 2x - z, y + z) = (c(x + y), c(2x - z), c(y + z))
Aplicando T(cu) = cT(u) :
Por outro lado:
Então:
A transformação preserva a multiplicação por escalar.

Resposta

Como a transformação satisfaz as duas propriedades essenciais de uma transformação linear (preserva a adição de vetores e a multiplicação por escalar), podemos concluir que é uma transformação linear.

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