Descreva a família de curvas que representam as trajetórias ortogonais da curva dada.

Passo 1

Beleza, a questão pede para a gente descrever a família de curvas que são trajetórias ortogonais (ou seja, que se cruzam formando ângulos de 90 graus) à curva dada pela equação . Estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente com o conceito de trajetórias ortogonais. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar essas curvas ortogonais usando derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da curva original para saber a inclinação da tangente em qualquer ponto dela. A curva dada é . Vamos derivar ambos os lados em relação a :
Mas para facilitar, queremos a derivada em relação a , então invertendo:
Isso nos dá a inclinação da tangente à curva original.

Passo 3

Agora, como queremos as trajetórias ortogonais, precisamos das inclinações que são negativas recíprocas das inclinações das tangentes à curva original. Ou seja:
Então, a derivada das trajetórias ortogonais é:

Passo 4

Vamos resolver essa equação diferencial para encontrar a família de curvas ortogonais. Reescrevendo:
Esse tipo de equação é chamada de equação diferencial separável, porque podemos separar as variáveis e .

Passo 5

Separamos as variáveis:
Agora, integramos ambos os lados:
Isso resulta em:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, resolvemos para :
Como é apenas uma constante, podemos renomeá-la como :

Resposta

A família de curvas que são trajetórias ortogonais à curva é dada por:
Onde é uma constante que pode variar.

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