Descreva a família de curvas que representam as trajetórias ortogonais da curva dada.
Passo 1
Beleza, a questão pede para a gente descrever a família de curvas que são trajetórias ortogonais (ou seja, que se cruzam formando ângulos de 90 graus) à curva dada pela equação
. Estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente com o conceito de trajetórias ortogonais. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar essas curvas ortogonais usando derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da curva original para saber a inclinação da tangente em qualquer ponto dela. A curva dada é
. Vamos derivar ambos os lados em relação a
:
Mas para facilitar, queremos a derivada em relação a
, então invertendo:
Isso nos dá a inclinação da tangente à curva original.
Passo 3
Agora, como queremos as trajetórias ortogonais, precisamos das inclinações que são negativas recíprocas das inclinações das tangentes à curva original. Ou seja:
Então, a derivada das trajetórias ortogonais é:
Passo 4
Vamos resolver essa equação diferencial para encontrar a família de curvas ortogonais. Reescrevendo:
Esse tipo de equação é chamada de equação diferencial separável, porque podemos separar as variáveis
e
.
Passo 5
Separamos as variáveis:
Agora, integramos ambos os lados:
Isso resulta em:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, resolvemos para
:
Como
é apenas uma constante, podemos renomeá-la como
:
Resposta
A família de curvas que são trajetórias ortogonais à curva
é dada por:
Onde
é uma constante que pode variar.
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