Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série. sumn=1^infty n!x^n/ 1 cdot 3 cdot 5 cdots cdots(2 n-1)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série . Esse problema está relacionado ao estudo de séries de potências e convergência de séries. Para resolver, vamos precisar aplicar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar o raio de convergência de séries infinitas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o denominador da série: 1 cdot 3 cdot 5 cdots (2n-1) = (2n)!2^n cdot n! . Esse produto de números ímpares pode ser simplificado usando a relação com o fatorial duplo. Sabemos que:
sumn=1^infty n!x^n(2n)!2^n cdot n! = sumn=1^infty n! cdot 2^n cdot n! cdot x^n(2n)! = sumn=1^infty (n!)^2 cdot 2^n cdot x^n(2n)!
Portanto, podemos reescrever a série original como:

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Razão, que consiste em calcular o limite:
L = limn to infty | an+1an |
onde .

Passo 4

Calculando an+1 = ((n+1)!)^2 cdot 2^n+1 cdot x^n+1(2(n+1))! = (n+1)^2 cdot (n!)^2 cdot 2^n cdot 2 cdot x^n cdot x(2n+2)(2n+1)(2n)!) :

Passo 5

Agora, calculamos a razão an+1an = (n+1)^2 cdot 2 cdot x(2n+2)(2n+1) = 2(n+1)^2x(2n+2)(2n+1) :
an+1an = 2(n+1)^2x4n^2 + 6n + 2 = 2x(n+1)^24n^2 + 6n + 2
Simplificando:

Passo 6

Agora, tomamos o limite quando L = limn to infty 2x(n+1)^24n^2 + 6n + 2 = limn to infty 2x(n^2+2n+1)4n^2 + 6n + 2 tende ao infinito:
L = limn to infty 2x(1 + 2n + 1n^2)4 + 6n + 2n^2 = 2x cdot 14 = x2
Dividindo numerador e denominador por :

Passo 7

Para que a série convirja pelo Teste da Razão, precisamos que | x2 | < 1 implies |x| < 2 :
Portanto, o raio de convergência é .

Passo 8

Agora, determinamos o intervalo de convergência. Sabemos que a série converge para sumn=1^infty (n!)^2 cdot 2^n cdot 2^n(2n)! = sumn=1^infty (n!)^2 cdot 4^n(2n)! . Vamos verificar a convergência nos pontos extremos sumn=1^infty (n!)^2 cdot 2^n cdot (-2)^n(2n)! = sumn=1^infty (n!)^2 cdot (-4)^n(2n)! e .
  • Para :
Essa série diverge, pois cresce sem limite.
  • Para :
Também diverge pelo mesmo motivo.
Portanto, o intervalo de convergência é .

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

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