Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série . Esse problema está relacionado ao estudo de séries de potências e convergência de séries. Para resolver, vamos precisar aplicar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar o raio de convergência de séries infinitas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o denominador da série: . Esse produto de números ímpares pode ser simplificado usando a relação com o fatorial duplo. Sabemos que:
Portanto, podemos reescrever a série original como:
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teste da Razão, que consiste em calcular o limite:
Agora, tomamos o limite quando L = limn to infty 2x(n+1)^24n^2 + 6n + 2 = limn to infty 2x(n^2+2n+1)4n^2 + 6n + 2 tende ao infinito:
L = limn to infty 2x(1 + 2n + 1n^2)4 + 6n + 2n^2 = 2x cdot 14 = x2
Dividindo numerador e denominador por :
Passo 7
Para que a série convirja pelo Teste da Razão, precisamos que | x2 | < 1 implies |x| < 2 :
Portanto, o raio de convergência é .
Passo 8
Agora, determinamos o intervalo de convergência. Sabemos que a série converge para sumn=1^infty (n!)^2 cdot 2^n cdot 2^n(2n)! = sumn=1^infty (n!)^2 cdot 4^n(2n)! . Vamos verificar a convergência nos pontos extremos sumn=1^infty (n!)^2 cdot 2^n cdot (-2)^n(2n)! = sumn=1^infty (n!)^2 cdot (-4)^n(2n)! e .
Para :
Essa série diverge, pois cresce sem limite.
Para :
Também diverge pelo mesmo motivo.
Portanto, o intervalo de convergência é .
Resposta
O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .