Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série . Esse problema está relacionado ao estudo de séries de potências e convergência de séries. Para resolver, vamos precisar aplicar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar o raio de convergência de séries infinitas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o denominador da série: . Esse produto de números ímpares pode ser simplificado usando a relação com o fatorial duplo. Sabemos que:
Portanto, podemos reescrever a série original como:

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Razão, que consiste em calcular o limite:
onde .

Passo 4

Calculando :

Passo 5

Agora, calculamos a razão :
Simplificando:

Passo 6

Agora, tomamos o limite quando tende ao infinito:
Dividindo numerador e denominador por :

Passo 7

Para que a série convirja pelo Teste da Razão, precisamos que :
Portanto, o raio de convergência é .

Passo 8

Agora, determinamos o intervalo de convergência. Sabemos que a série converge para . Vamos verificar a convergência nos pontos extremos e .
  • Para :
Essa série diverge, pois cresce sem limite.
  • Para :
Também diverge pelo mesmo motivo.
Portanto, o intervalo de convergência é .

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

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