Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série . Esse problema está relacionado ao estudo de séries de potências e convergência de séries. Para resolver, vamos precisar aplicar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar o raio de convergência de séries infinitas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o denominador da série: . Esse produto de números ímpares pode ser simplificado usando a relação com o fatorial duplo. Sabemos que:
Portanto, podemos reescrever a série original como:
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teste da Razão, que consiste em calcular o limite:
onde .
Passo 4
Calculando :
Passo 5
Agora, calculamos a razão :
Simplificando:
Passo 6
Agora, tomamos o limite quando tende ao infinito:
Dividindo numerador e denominador por :
Passo 7
Para que a série convirja pelo Teste da Razão, precisamos que :
Portanto, o raio de convergência é .
Passo 8
Agora, determinamos o intervalo de convergência. Sabemos que a série converge para . Vamos verificar a convergência nos pontos extremos e .
Para :
Essa série diverge, pois cresce sem limite.
Para :
Também diverge pelo mesmo motivo.
Portanto, o intervalo de convergência é .
Resposta
O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .