PROBLLMAS Em cada um dos problemas de 1 a 6 : Desenhe, também, um campo de direções, esboce algumas trajetórias e descreva o comportamento das soluções quando .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para analisarmos o sistema de equações diferenciais dado por:
O conteúdo aqui é de sistemas lineares de equações diferenciais, e para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre autovalores e autovetores da matriz, além de como desenhar o campo de direções e esboçar trajetórias das soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz. Os autovalores são valores de λ que satisfazem a equação característica:
Onde é a matriz dada e é a matriz identidade.

Passo 3

Calculando a determinante:
Simplificando:

Passo 4

Multiplicando os termos:
Simplificando:

Passo 5

Resolvendo a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:

Passo 6

Os autovalores são complexos:
Isso indica que o sistema apresenta um nó focinho complexo com parte real negativa, o que significa que as soluções vão circular em direção ao ponto de equilíbrio conforme .

Passo 7

Agora, vamos desenhar o campo de direções. Como os autovalores têm parte real negativa e imaginária, as trajetórias vão ser hélices que giram em torno do ponto de equilíbrio (origem) e se aproximam dela ao longo do tempo.

Passo 8

Esboçando algumas trajetórias, elas vão parecer círculos que diminuem de tamanho à medida que se aproximam da origem, seguindo o comportamento dos autovalores.

Resposta

As soluções do sistema giram em círculos descendentes em direção à origem conforme , indicando que todas as trajetórias convergem para o ponto de equilíbrio na origem.

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