PROBLLMAS Em cada um dos problemas de 1 a 6 : Desenhe, também, um campo de direções, esboce algumas trajetórias e descreva o comportamento das soluções quando
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para analisarmos o sistema de equações diferenciais dado por:
O conteúdo aqui é de sistemas lineares de equações diferenciais, e para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre autovalores e autovetores da matriz, além de como desenhar o campo de direções e esboçar trajetórias das soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz. Os autovalores são valores de λ que satisfazem a equação característica:
Onde
é a matriz dada e
é a matriz identidade.
Passo 3
Calculando a determinante:
Simplificando:
Passo 4
Multiplicando os termos:
Simplificando:
Passo 5
Resolvendo a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Passo 6
Os autovalores são complexos:
Isso indica que o sistema apresenta um nó focinho complexo com parte real negativa, o que significa que as soluções vão circular em direção ao ponto de equilíbrio conforme
.
Passo 7
Agora, vamos desenhar o campo de direções. Como os autovalores têm parte real negativa e imaginária, as trajetórias vão ser hélices que giram em torno do ponto de equilíbrio (origem) e se aproximam dela ao longo do tempo.
Passo 8
Esboçando algumas trajetórias, elas vão parecer círculos que diminuem de tamanho à medida que se aproximam da origem, seguindo o comportamento dos autovalores.
Resposta
As soluções do sistema giram em círculos descendentes em direção à origem conforme
, indicando que todas as trajetórias convergem para o ponto de equilíbrio na origem.