Descreva a família de curvas que representam as trajetórias ortogonais da curva dada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para descrever a família de curvas que são trajetórias ortogonais à curva dada . Aqui, estamos lidando com cálculo diferencial, especificamente com trajetórias ortogonais, que são curvas que se cruzam formando ângulos de 90 graus.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da curva original para obter a inclinação da tangente em qualquer ponto dessa curva. Vamos usar a derivada implícita:

Passo 3

Agora, isolamos para encontrar a inclinação da tangente:

Passo 4

Como queremos as curvas ortogonais, precisamos das inclinações que são negativas recíprocas das inclinações das curvas originais. Então, a inclinação das trajetórias ortogonais será:

Passo 5

Para simplificar, vamos eliminar a constante da equação original :
Substituindo isso na expressão da derivada:

Passo 6

Agora temos a equação diferencial das trajetórias ortogonais:
Vamos separar as variáveis para resolver a equação:

Passo 7

Integramos ambos os lados da equação:
Isso resulta em:

Passo 8

Isolando , temos:
Podemos reescrever isso como:

Resposta

A família de curvas que representam as trajetórias ortogonais é dada por:
Onde é uma constante real.

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