Descreva a família de curvas que representam as trajetórias ortogonais da curva dada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para descrever a família de curvas que são trajetórias ortogonais à curva dada
. Aqui, estamos lidando com cálculo diferencial, especificamente com trajetórias ortogonais, que são curvas que se cruzam formando ângulos de 90 graus.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da curva original
para obter a inclinação da tangente em qualquer ponto dessa curva. Vamos usar a derivada implícita:
Passo 3
Agora, isolamos
para encontrar a inclinação da tangente:
Passo 4
Como queremos as curvas ortogonais, precisamos das inclinações que são negativas recíprocas das inclinações das curvas originais. Então, a inclinação das trajetórias ortogonais será:
Passo 5
Para simplificar, vamos eliminar a constante
da equação original
:
Substituindo isso na expressão da derivada:
Passo 6
Agora temos a equação diferencial das trajetórias ortogonais:
Vamos separar as variáveis para resolver a equação:
Passo 7
Integramos ambos os lados da equação:
Isso resulta em:
Passo 8
Isolando
, temos:
Podemos reescrever isso como:
Resposta
A família de curvas que representam as trajetórias ortogonais é dada por:
Onde
é uma constante real.
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.
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