PROBLLMAS Em cada um dos problemas de 1 a 6 : Expresse a solução geral do sistema de equações dado como combinação de funções reais.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que você me enviou é um sistema de equações diferenciais lineares. Nosso objetivo aqui é encontrar a solução geral desse sistema, expressa como uma combinação de funções reais. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como autovalores e autovetores da matriz que está multiplicando a variável .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a matriz do sistema:
Nosso próximo passo é encontrar os autovalores dessa matriz. Autovalores são números que satisfazem a equação característica:
onde é a matriz identidade.

Passo 3

Vamos calcular o determinante de :
Então,
Agora, resolvemos a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, os autovalores são:

Passo 4

Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada . Para cada , resolvemos , onde é o autovetor.
Para :
Simplificando:
Resolvendo , podemos escolher .
De forma similar, para , encontramos o autovetor .

Passo 5

Com os autovalores e autovetores em mãos, podemos escrever a solução geral do sistema. Cada solução individual tem a forma:
Portanto, a solução geral será:
onde e são constantes que dependem das condições iniciais.

Resposta

A solução geral do sistema é:
onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais do sistema.

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