PROBLLMAS Em cada um dos problemas de 1 a 6 : Expresse a solução geral do sistema de equações dado como combinação de funções reais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que você me enviou é um sistema de equações diferenciais lineares. Nosso objetivo aqui é encontrar a solução geral desse sistema, expressa como uma combinação de funções reais. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como autovalores e autovetores da matriz que está multiplicando a variável
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a matriz do sistema:
Nosso próximo passo é encontrar os autovalores dessa matriz. Autovalores são números
que satisfazem a equação característica:
onde
é a matriz identidade.
Passo 3
Vamos calcular o determinante de
:
Então,
Agora, resolvemos a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, os autovalores são:
Passo 4
Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada
. Para cada
, resolvemos
, onde
é o autovetor.
Para
:
Simplificando:
Resolvendo
, podemos escolher
.
De forma similar, para
, encontramos o autovetor
.
Passo 5
Com os autovalores e autovetores em mãos, podemos escrever a solução geral do sistema. Cada solução individual tem a forma:
Portanto, a solução geral será:
onde
e
são constantes que dependem das condições iniciais.
Resposta
A solução geral do sistema é:
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais do sistema.
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,
e
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e
para
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.
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