Determine os pontos fixos do mapa e estude a sua estabilidade. Comente o resultado. (O que ocorre para
e
?)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar os pontos fixos de um mapa (que é basicamente uma função que descreve como um sistema evolui ao longo do tempo) e estudar a estabilidade desses pontos. Além disso, precisamos comentar o que acontece quando o parâmetro
é menor que 1, igual a 1 e maior que 1.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que são pontos fixos e estabilidade em sistemas dinâmicos. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, o que é um ponto fixo? É um ponto onde, se o sistema estiver nesse estado, ele vai permanecer lá. Matemáticamente, se temos um mapa
, um ponto fixo
satisfaz
.
Passo 3
Vamos supor que o mapa em questão é da forma
. Esse é um mapa bem conhecido chamado mapa logístico, que modela, por exemplo, o crescimento populacional.
Passo 4
Encontrando os pontos fixos:
Queremos encontrar
tal que
.
Então,
Vamos resolver essa equação:
Isso nos dá duas soluções:
Então, os pontos fixos são
e
.
Passo 5
Estudando a estabilidade dos pontos fixos:
Para verificar a estabilidade, usamos a derivada do mapa no ponto fixo. Se o valor absoluto da derivada for menor que 1, o ponto é estável (atraente); se for maior que 1, é instável.
Vamos calcular a derivada de
:
Agora, avaliamos a derivada nos pontos fixos:
- Para
:
- Se
, o ponto é estável. - Se
, o ponto é instável.
- Para
:
Primeiro, vamos simplificar:
Então,
- Se
, o ponto é estável. - Se
, o ponto é instável.
Passo 6
Analisando para diferentes valores de
:
-
Quando
: - Para
: → Estável. - Para
: Essa solução só faz sentido se estiver no intervalo [0,1], o que não ocorre para . Portanto, apenas é um ponto fixo estável.
- Para
-
Quando
: - Para
: → Neutro (não é estável nem instável). - Para
: Isso coincide com o primeiro ponto fixo. Nesse caso, há apenas um ponto fixo em 0, que é neutro.
- Para
-
Quando
: - Para
: → Instável. - Para
: . - Se
, então → Estável. - Se
, então → Instável.
- Se
- Para
Resposta
Os pontos fixos do mapa são
e
. Quando
, apenas
é estável. Para
,
é um ponto fixo neutro. E quando
,
torna-se instável, enquanto
é estável para
e instável para
. Isso mostra como o comportamento do sistema muda conforme o parâmetro
varia.
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