Determine os pontos fixos do mapa e estude a sua estabilidade. Comente o resultado. (O que ocorre para e ?)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar os pontos fixos de um mapa (que é basicamente uma função que descreve como um sistema evolui ao longo do tempo) e estudar a estabilidade desses pontos. Além disso, precisamos comentar o que acontece quando o parâmetro é menor que 1, igual a 1 e maior que 1.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que são pontos fixos e estabilidade em sistemas dinâmicos. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, o que é um ponto fixo? É um ponto onde, se o sistema estiver nesse estado, ele vai permanecer lá. Matemáticamente, se temos um mapa , um ponto fixo satisfaz .

Passo 3

Vamos supor que o mapa em questão é da forma . Esse é um mapa bem conhecido chamado mapa logístico, que modela, por exemplo, o crescimento populacional.

Passo 4

Encontrando os pontos fixos:
Queremos encontrar tal que .
Então,
Vamos resolver essa equação:
Isso nos dá duas soluções:
Então, os pontos fixos são e .

Passo 5

Estudando a estabilidade dos pontos fixos:
Para verificar a estabilidade, usamos a derivada do mapa no ponto fixo. Se o valor absoluto da derivada for menor que 1, o ponto é estável (atraente); se for maior que 1, é instável.
Vamos calcular a derivada de :
Agora, avaliamos a derivada nos pontos fixos:
  1. Para :
  • Se , o ponto é estável.
  • Se , o ponto é instável.
  1. Para :
Primeiro, vamos simplificar:
Então,
  • Se , o ponto é estável.
  • Se , o ponto é instável.

Passo 6

Analisando para diferentes valores de :
  1. Quando :
    • Para : → Estável.
    • Para : Essa solução só faz sentido se estiver no intervalo [0,1], o que não ocorre para . Portanto, apenas é um ponto fixo estável.
  2. Quando :
    • Para : → Neutro (não é estável nem instável).
    • Para : Isso coincide com o primeiro ponto fixo. Nesse caso, há apenas um ponto fixo em 0, que é neutro.
  3. Quando :
    • Para : → Instável.
    • Para : .
      • Se , então → Estável.
      • Se , então → Instável.

Resposta

Os pontos fixos do mapa são e . Quando , apenas é estável. Para , é um ponto fixo neutro. E quando , torna-se instável, enquanto é estável para e instável para . Isso mostra como o comportamento do sistema muda conforme o parâmetro varia.

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