Determine todos os números complexos
tais que:
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar todos os números complexos
que satisfazem a equação
. A matéria envolvida aqui é a de números complexos e a função exponencial no contexto dos números complexos. Para resolver, vamos precisar entender como a função exponencial se comporta nos complexos e como encontrar o logaritmo de um número complexo.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar. Queremos encontrar
tal que:
Para resolver isso, vamos aplicar o logaritmo natural dos números complexos. Lembre-se que, no mundo dos números complexos, o logaritmo não é único; ele tem múltiplas soluções que diferem por múltiplos de
.
Passo 3
Aplicando o logaritmo natural nos dois lados da equação, temos:
Agora, precisamos encontrar
. Sabemos que, para qualquer número complexo,
, onde
é qualquer inteiro.
Passo 4
No nosso caso,
pode ser escrito na forma polar como
(já que
). Portanto:
Onde
é qualquer inteiro.
Passo 5
Substituindo de volta na equação
, temos:
Agora, para encontrar
, dividimos ambos os lados por 2:
Resposta
Todos os números complexos que satisfazem
são dados por: