Determine todos os números complexos z tais que: exp(2 z) = -2;

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar todos os números complexos que satisfazem a equação . A matéria envolvida aqui é a de números complexos e a função exponencial no contexto dos números complexos. Para resolver, vamos precisar entender como a função exponencial se comporta nos complexos e como encontrar o logaritmo de um número complexo.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar. Queremos encontrar tal que:
Para resolver isso, vamos aplicar o logaritmo natural dos números complexos. Lembre-se que, no mundo dos números complexos, o logaritmo não é único; ele tem múltiplas soluções que diferem por múltiplos de .

Passo 3

Aplicando o logaritmo natural nos dois lados da equação, temos:
Agora, precisamos encontrar . Sabemos que, para qualquer número complexo, , onde é qualquer inteiro.

Passo 4

No nosso caso, pode ser escrito na forma polar como (já que ). Portanto:
Onde é qualquer inteiro.

Passo 5

Substituindo de volta na equação , temos:
Agora, para encontrar , dividimos ambos os lados por 2:

Resposta

Todos os números complexos que satisfazem são dados por:
é

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