(b) Descreva geometricamente o conjunto
do números complexos
que satisfazem à condição
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que descrever geometricamente o conjunto
dos números complexos
que satisfazem a condição
. Isso está relacionado com a geometria dos números complexos no plano, usando a ideia de distância entre pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um número complexo
pode ser representado no plano como um ponto com coordenadas
, onde
. A expressão
representa a distância entre o ponto
e o ponto
no plano complexo.
Passo 3
A condição dada é
. Aqui, estamos comparando as distâncias do ponto
aos pontos
e
no plano. Vamos interpretar isso geometrically.
Passo 4
Quando temos uma relação como
, estamos descrevendo um conjunto de pontos
cuja distância a
é menor que
vezes a distância a
. Isso define uma região no plano que é uma circunferência de Apollonius.
Passo 5
No nosso caso,
e
, e
. Então, queremos todos os pontos
onde a distância até
é menos que duas vezes a distância até
. Vamos encontrar a equação dessa circunferência.
Passo 6
Vamos chamar
. Então,
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:
Passo 7
Calculando as distâncias:
Expandindo os termos:
Passo 8
Rearranjando os termos para agrupar semelhantes:
Dividindo tudo por 3:
Completando o quadrado para a variável
:
Resposta
Geometricamente, o conjunto
é o interior de um círculo com centro no ponto
e raio
no plano complexo. Ou seja, todos os números complexos
que estão a menos de 4 unidades de distância do ponto
.