(b) Descreva geometricamente o conjunto S do números complexos z que satisfazem à condição |z-3|/|z+3| < 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que descrever geometricamente o conjunto dos números complexos que satisfazem a condição . Isso está relacionado com a geometria dos números complexos no plano, usando a ideia de distância entre pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um número complexo pode ser representado no plano como um ponto com coordenadas , onde . A expressão representa a distância entre o ponto e o ponto no plano complexo.

Passo 3

A condição dada é . Aqui, estamos comparando as distâncias do ponto aos pontos e no plano. Vamos interpretar isso geometrically.

Passo 4

Quando temos uma relação como , estamos descrevendo um conjunto de pontos cuja distância a é menor que vezes a distância a . Isso define uma região no plano que é uma circunferência de Apollonius.

Passo 5

No nosso caso, e , e . Então, queremos todos os pontos onde a distância até é menos que duas vezes a distância até . Vamos encontrar a equação dessa circunferência.

Passo 6

Vamos chamar . Então,
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:

Passo 7

Calculando as distâncias:
Expandindo os termos:

Passo 8

Rearranjando os termos para agrupar semelhantes:
Dividindo tudo por 3:
Completando o quadrado para a variável :

Resposta

Geometricamente, o conjunto é o interior de um círculo com centro no ponto e raio no plano complexo. Ou seja, todos os números complexos que estão a menos de 4 unidades de distância do ponto .

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