Mostre que a forma quadrática usual resolve a equação quadrática a z^2 + b z + c = 0, onde os coeficientes a ≠ 0, b, c são números complexos.

Passo 1

Ok, vamos lá! A gente tem que mostrar que a fórmula quadrática funciona para resolver a equação , onde a != 0 e a, b, c são números complexos. Vamos precisar usar conhecimentos sobre equações quadráticas e números complexos para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a forma geral da equação quadrática: . Nosso objetivo é isolar o z e encontrar as soluções dessa equação.

Passo 3

Vamos começar dividindo toda a equação por a (como a != 0), assim:

Passo 4

Agora, vamos completar o quadrado para facilitar a resolução. Primeiro, movemos o termo constante para o outro lado:

Passo 5

Para completar o quadrado, adicionamos aos dois lados da equação:

Passo 6

A esquerda da equação agora é um quadrado perfeito:

Passo 7

Vamos simplificar o lado direito:

Passo 8

Agora, tiramos a raiz quadrada dos dois lados:

Passo 9

Finalmente, isolamos o z subtraindo de ambos os lados:

Resposta

A solução da equação quadrática é dada por:

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