Descreva o gráfico da equação.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descrever o gráfico da equação vetorial
. Isso está dentro do estudo de Geometria Analítica e Vetores. Para resolver, vamos precisar entender como interpretar essa equação vetorial e identificar que tipo de curva ela representa no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor a equação vetorial em suas componentes. A equação
pode ser escrita em termos de coordenadas:
Isso significa que, para cada valor de
, temos um ponto
no espaço.
Passo 3
Observando a componente
, percebemos que
é constante e igual a 1, independente do valor de
. Isso indica que todos os pontos da curva estão no plano horizontal
.
Passo 4
Agora, vamos analisar as componentes
e . Essas duas equações representam uma parametrização de uma elipse no plano
. A equação geral de uma elipse é:
Onde
e
são os semieixos da elipse.
Passo 5
Para verificar isso, vamos eliminar o parâmetro
. Sabemos que . Vamos reescrever
e
em termos de
e :
Elevando ao quadrado e somando:
Simplificando:
Essa é a equação de uma elipse com semieixo maior de comprimento 3 ao longo do eixo
e semieixo menor de comprimento 2 ao longo do eixo
.
Passo 6
Por fim, como o
é sempre 1, a elipse está localizada no plano
no espaço tridimensional. Portanto, o gráfico da equação dada é uma elipse no plano horizontal a 1 unidade acima do plano
.
Resposta
O gráfico da equação
é uma elipse situada no plano horizontal
, com semieixos de comprimentos 2 e 3 ao longo dos eixos
e
, respectivamente.
Exercícios relacionados
Descreva o gráfico da equação.
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Determine a integral tripla
onde:
-
e a região dada pela intersecção do parabolóide e o plano . -
e a região dada pela intersecção do cilindro e dos planos e
Esboce o segmento de reta representado pela equação vetorial.
(a)
(a)