Descreva o gráfico da equação.
r = 2 cos(t) i - 3 sen(t) j + k

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descrever o gráfico da equação vetorial r = 2 cos(t) i - 3 sen(t) j + k. Isso está dentro do estudo de Geometria Analítica e Vetores. Para resolver, vamos precisar entender como interpretar essa equação vetorial e identificar que tipo de curva ela representa no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a equação vetorial em suas componentes. A equação r = 2 cos(t) i - 3 sen(t) j + k pode ser escrita em termos de coordenadas:
Isso significa que, para cada valor de , temos um ponto no espaço.

Passo 3

Observando a componente , percebemos que é constante e igual a 1, independente do valor de . Isso indica que todos os pontos da curva estão no plano horizontal .

Passo 4

Agora, vamos analisar as componentes e . Essas duas equações representam uma parametrização de uma elipse no plano . A equação geral de uma elipse é:
Onde e são os semieixos da elipse.

Passo 5

Para verificar isso, vamos eliminar o parâmetro . Sabemos que . Vamos reescrever e em termos de e :
Elevando ao quadrado e somando:
Simplificando:
Essa é a equação de uma elipse com semieixo maior de comprimento 3 ao longo do eixo e semieixo menor de comprimento 2 ao longo do eixo .

Passo 6

Por fim, como o é sempre 1, a elipse está localizada no plano no espaço tridimensional. Portanto, o gráfico da equação dada é uma elipse no plano horizontal a 1 unidade acima do plano .

Resposta

O gráfico da equação r = 2 cos(t) i - 3 sen(t) j + k é uma elipse situada no plano horizontal , com semieixos de comprimentos 2 e 3 ao longo dos eixos e , respectivamente.

Exercícios relacionados