Determine a integral tripla integral triplaD f(x, y, z) d x d y d z onde:
  • f(x, y, z)=x e D a região dada pela intersecção do parabolóide z=x^2+y^2 e o plano z=a.
  • f(x, y, z)=y e D a região dada pela intersecção do cilindro x^2+y^2=a^2 e dos planos z=0 e z=a

Passo 1

Beleza, vamos resolver duas integrais triplas aqui. Primeiro, temos a função sobre a região que é a intersecção do parabolóide com o plano . Depois, temos sobre a região que é a intersecção do cilindro com os planos e . Vamos usar cálculo multivariado, especificamente integrais triplas em coordenadas cilíndricas, para resolver isso. Precisaremos entender como converter para coordenadas cilíndricas e estabelecer os limites de integração corretamente.

Passo 2

Vamos começar com a primeira integral: x = r costheta, y = r sintheta, z = z , onde é a região entre o parabolóide e o plano .
Em coordenadas cilíndricas, temos:
E o volume elementar .
A região está delimitada por (parabolóide) e . Portanto, varia de até . O raio vai de 0 até onde , então vai até (já que ). O ângulo varia de 0 a .

Passo 3

Agora, vamos expressar a função f(r, theta, z) = r costheta em coordenadas cilíndricas:
integral0^2pi integral0^raiza integralr^2^a r costheta cdot r , dz , dr , dtheta
Assim, a integral fica:
integral0^2pi integral0^raiza integralr^2^a r^2 costheta , dz , dr , dtheta
Simplificando, temos:

Passo 4

Integramos em relação a integralr^2^a dz = a - r^2 primeiro:
integral0^2pi integral0^raiza r^2 costheta (a - r^2) , dr , dtheta
Portanto, a integral agora é:

Passo 5

Agora, vamos separar a integral:
integral0^2pi costheta , dtheta cdot integral0^raiza r^2 (a - r^2) , dr
Primeiro, calculamos integral0^2pi costheta , dtheta = 0 :
Porque o cosseno é uma função ímpar sobre o intervalo completo .

Passo 6

Como o primeiro fator é zero, todo o produto será zero. Portanto, a primeira integral é:
integral triplaD x , dx , dy , dz = 0

Passo 7

Agora, vamos para a segunda integral: x = r costheta, y = r sintheta, z = z , onde é a região entre o cilindro e os planos e .
Usaremos novamente coordenadas cilíndricas:
E .
A região está limitada por , e . Então, varia de 0 a , de 0 a , e de 0 a .

Passo 8

Expressando f(r, theta, z) = r sintheta em coordenadas cilíndricas:
integral0^2pi integral0^a integral0^a r sintheta cdot r , dz , dr , dtheta
A integral fica:
integral0^2pi integral0^a integral0^a r^2 sintheta , dz , dr , dtheta
Simplificando:

Passo 9

Integrando em relação a integral0^a dz = a :
integral0^2pi integral0^a r^2 sintheta cdot a , dr , dtheta = a integral0^2pi sintheta , dtheta cdot integral0^a r^2 , dr
Então, a integral se torna:

Passo 10

Calculamos cada parte separadamente:
integral0^2pi sintheta , dtheta = 0
Porque o seno também é função ímpar sobre .

Passo 11

Como o primeiro fator é zero, toda a integral será zero. Portanto, a segunda integral é:
integral triplaD y , dx , dy , dz = 0

Resposta

Ambas as integrais triplas são iguais a zero:
integral triplaD x , dx , dy , dz = 0
integral triplaD y , dx , dy , dz = 0

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