Determine a integral tripla
onde:
-
e
a região dada pela intersecção do parabolóide
e o plano
.
-
e
a região dada pela intersecção do cilindro
e dos planos
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver duas integrais triplas aqui. Primeiro, temos a função
sobre a região
que é a intersecção do parabolóide
com o plano
. Depois, temos
sobre a região
que é a intersecção do cilindro
com os planos
e
. Vamos usar cálculo multivariado, especificamente integrais triplas em coordenadas cilíndricas, para resolver isso. Precisaremos entender como converter para coordenadas cilíndricas e estabelecer os limites de integração corretamente.
Passo 2
Vamos começar com a primeira integral:
, onde
é a região entre o parabolóide
e o plano
.
Em coordenadas cilíndricas, temos:
E o volume elementar
.
A região
está delimitada por
(parabolóide) e
. Portanto,
varia de
até
. O raio
vai de 0 até onde
, então
vai até
(já que
). O ângulo
varia de 0 a
.
Passo 3
Agora, vamos expressar a função
em coordenadas cilíndricas:
Assim, a integral fica:
Simplificando, temos:
Passo 4
Integramos em relação a
primeiro:
Portanto, a integral agora é:
Passo 5
Agora, vamos separar a integral:
Primeiro, calculamos
:
Porque o cosseno é uma função ímpar sobre o intervalo completo
.
Passo 6
Como o primeiro fator é zero, todo o produto será zero. Portanto, a primeira integral é:
Passo 7
Agora, vamos para a segunda integral:
, onde
é a região entre o cilindro
e os planos
e
.
Usaremos novamente coordenadas cilíndricas:
E
.
A região
está limitada por
,
e
. Então,
varia de 0 a
,
de 0 a
, e
de 0 a
.
Passo 8
Expressando
em coordenadas cilíndricas:
A integral fica:
Simplificando:
Passo 9
Integrando em relação a
:
Então, a integral se torna:
Passo 10
Calculamos cada parte separadamente:
Porque o seno também é função ímpar sobre
.
Passo 11
Como o primeiro fator é zero, toda a integral será zero. Portanto, a segunda integral é:
Resposta
Ambas as integrais triplas são iguais a zero:
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(a)
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(b)
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