Descreva o gráfico da equação.
r = 2t i - 3 j + (1 + 3t) k

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação vetorial: . O objetivo é descrever o gráfico dessa equação. Para isso, vamos precisar entender sobre retas no espaço tridimensional e como as equações vetoriais representam essas retas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes da equação vetorial. A equação está na forma , onde:
  • é o vetor posição de qualquer ponto na reta.
  • é um ponto inicial na reta.
  • é o vetor diretor da reta.
  • é um parâmetro que varia.
Comparando com a nossa equação:
Podemos reescrever isso como:
Assim, identificamos:
  • (o ponto inicial )
  • (o vetor diretor)

Passo 3

Agora que sabemos o ponto inicial e o vetor diretor, podemos descrever o gráfico. A equação vetorial representa uma reta no espaço tridimensional que passa pelo ponto e vai na direção do vetor .
Para visualizar, imagine começar no ponto . À medida que o parâmetro aumenta, você se move na direção do vetor . Cada aumento em leva você 2 unidades na direção , nada na direção e 3 unidades na direção .

Passo 4

Vamos também verificar se a equação está parametrizada corretamente. Com :
Que corresponde ao ponto , confirmando nosso ponto inicial.

Passo 5

Se quisermos expressar a reta em forma paramétrica, podemos separar as componentes:
Isso também mostra que é constante (-3), enquanto e variam conforme .

Resposta

O gráfico da equação é uma reta no espaço tridimensional que passa pelo ponto e tem como direção o vetor . Essa reta se estende infinitamente nas direções definidas pelo vetor diretor conforme o parâmetro varia.

Exercícios relacionados

Descreva o gráfico da equação.
r = 2 sen(3t) i - 2 cos(3t) j
Descreva o gráfico da equação.
r = (3 - 2t) i + 5t j
Descreva o gráfico da equação.
r = 2 cos(t) i - 3 sen(t) j + k
Determine a integral tripla integral triplaD f(x, y, z) d x d y d z onde:
  • f(x, y, z)=x e D a região dada pela intersecção do parabolóide z=x^2+y^2 e o plano z=a.
  • f(x, y, z)=y e D a região dada pela intersecção do cilindro x^2+y^2=a^2 e dos planos z=0 e z=a