Descreva o gráfico da equação.
r = 2 sen(3t) i - 2 cos(3t) j

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem uma equação vetorial:
O objetivo aqui é descrever o gráfico dessa equação. Para isso, a gente vai precisar usar conhecimentos de funções trigonométricas e de como transformar equações paramétricas em equações cartesianas. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada parte da equação representa. A equação vetorial está escrita nas direções dos eixos (x) e (y). Então podemos separar a equação nas componentes:
Aqui, e são funções que nos dão as coordenadas de um ponto no plano para cada valor de .

Passo 3

Agora, vamos tentar eliminar o parâmetro para encontrar uma relação direta entre e . Sabemos que:
Vamos aplicar isso às nossas funções e .

Passo 4

Primeiro, vamos isolar as funções trigonométricas:
Agora, vamos elevar ao quadrado ambos os lados das equações:

Passo 5

Somando as duas equações:
Sabemos que , então:

Passo 6

Multiplicando ambos os lados por 4 para simplificar:
Essa é a equação de um círculo com centro na origem e raio .

Resposta

O gráfico da equação é um círculo de raio 2 centrado na origem.

Exercícios relacionados

Descreva o gráfico da equação.
r = (3 - 2t) i + 5t j
Determine as equações paramétricas que correspondam às equações vetoriais dadas.
r = (2t - 1)i - 3 raiz(t)j + sen(3t)k
Descreva o gráfico da equação.
r = 2t i - 3 j + (1 + 3t) k
Descreva o gráfico da equação.
r = 2 cos(t) i - 3 sen(t) j + k