Descreva o gráfico da equação.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um exercício que pede para a gente descrever o gráfico de uma equação vetorial:
. Isso está dentro da matéria de geometria analítica, mais especificamente trabalhando com equações paramétricas de retas. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como essas equações funcionam e como podemos transformá-las para visualizar o gráfico no plano cartesiano.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada parte da equação representa. A equação vetorial
nos dá as coordenadas
e
de um ponto no plano, dependendo do valor do parâmetro
. Aqui,
e
são os vetores unitários nas direções do eixo
e
, respectivamente. Então, podemos separar a equação em duas partes:
Isso significa que para cada valor de
, temos um ponto
no plano.
Passo 3
Agora, para desenhar o gráfico, vamos determinar alguns pontos substituindo valores de
. Vamos escolher alguns valores simples para facilitar:
-
Quando
: Então, o ponto é. -
Quando
: Então, o ponto é. -
Quando
: Então, o ponto é.
Com esses pontos, já conseguimos começar a visualizar como a reta se comporta no plano.
Passo 4
Vamos analisar a direção da reta. Observando a equação
e
, podemos ver que o coeficiente de
em
é
e em
é
. Isso nos dá o vetor diretor da reta, que é
. Esse vetor indica a direção na qual a reta está se movendo conforme
varia.
Também podemos calcular a inclinação
da reta. A inclinação é dada por:
Isso significa que para cada 2 unidades que a reta desce no eixo
, ela sobe 5 unidades no eixo
.
Passo 5
Para ficar ainda mais claro, vamos transformar a equação paramétrica em uma equação cartesiana. Podemos resolver uma das equações para
e substituir na outra. Vamos resolver para
na equação de
:
Agora, substituímos esse valor de
na equação de
:
Simplificando, temos:
Essa é a equação da reta na forma
, onde
é a inclinação e
é o ponto onde a reta intercepta o eixo
.
Resposta
O gráfico da equação
é uma reta reta no plano cartesiano que passa pelos pontos
e
, com uma inclinação de
. Essa reta desce à medida que avança no eixo
e sobe no eixo
, seguindo a direção indicada pelo vetor
.
Exercícios relacionados
Determine as equações paramétricas que correspondam às equações vetoriais dadas.
Expresse as equações paramétricas como uma única equação vetorial da forma
Descreva o gráfico da equação.
Descreva o gráfico da equação.