Descreva o gráfico da equação.
r = (3 - 2t) i + 5t j

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um exercício que pede para a gente descrever o gráfico de uma equação vetorial: . Isso está dentro da matéria de geometria analítica, mais especificamente trabalhando com equações paramétricas de retas. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como essas equações funcionam e como podemos transformá-las para visualizar o gráfico no plano cartesiano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada parte da equação representa. A equação vetorial nos dá as coordenadas e de um ponto no plano, dependendo do valor do parâmetro . Aqui, e são os vetores unitários nas direções do eixo e , respectivamente. Então, podemos separar a equação em duas partes:
Isso significa que para cada valor de , temos um ponto no plano.

Passo 3

Agora, para desenhar o gráfico, vamos determinar alguns pontos substituindo valores de . Vamos escolher alguns valores simples para facilitar:
  • Quando :
    Então, o ponto é .
  • Quando :
    Então, o ponto é .
  • Quando :
    Então, o ponto é .
Com esses pontos, já conseguimos começar a visualizar como a reta se comporta no plano.

Passo 4

Vamos analisar a direção da reta. Observando a equação e , podemos ver que o coeficiente de em é e em é . Isso nos dá o vetor diretor da reta, que é . Esse vetor indica a direção na qual a reta está se movendo conforme varia.
Também podemos calcular a inclinação da reta. A inclinação é dada por:
Isso significa que para cada 2 unidades que a reta desce no eixo , ela sobe 5 unidades no eixo .

Passo 5

Para ficar ainda mais claro, vamos transformar a equação paramétrica em uma equação cartesiana. Podemos resolver uma das equações para e substituir na outra. Vamos resolver para na equação de :
Agora, substituímos esse valor de na equação de :
Simplificando, temos:
Essa é a equação da reta na forma , onde é a inclinação e é o ponto onde a reta intercepta o eixo .

Resposta

O gráfico da equação é uma reta reta no plano cartesiano que passa pelos pontos e , com uma inclinação de . Essa reta desce à medida que avança no eixo e sobe no eixo , seguindo a direção indicada pelo vetor .

Exercícios relacionados

Determine as equações paramétricas que correspondam às equações vetoriais dadas.
r = (2t - 1)i - 3 raiz(t)j + sen(3t)k
Expresse as equações paramétricas como uma única equação vetorial da forma
r = x(t) i + y(t) j ou r = x(t) i + y(t) j + z(t) k
x = 2t, y = 2 sen(3t), z = 5 cos(3t)
Descreva o gráfico da equação.
r = 2 sen(3t) i - 2 cos(3t) j
Descreva o gráfico da equação.
r = 2t i - 3 j + (1 + 3t) k