Descreva o gráfico da equação em três dimensões:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para descrever o gráfico da equação em três dimensões. A matéria envolvida aqui é Geometria Analítica no espaço tridimensional, especificamente a interpretação de equações envolvendo coordenadas cilíndricas. Para resolver, vamos precisar entender como converter e interpretar essas coordenadas para visualizar o gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que representam as variáveis na equação. Em coordenadas cilíndricas, é a distância do ponto ao eixo , e é a altura do ponto. A equação relaciona essas duas medidas.

Passo 3

Agora, vamos rearranjar a equação para ficar mais familiar. Sabemos que em coordenadas cartesianas, . Substituindo isso na equação original, temos:
Essa é a equação de uma esfera no espaço tridimensional.

Passo 4

A equação representa uma esfera com centro na origem (0,0,0) e raio igual a 4, já que . Isso significa que todos os pontos que satisfazem a equação estão a uma distância de 4 unidades do centro.

Passo 5

Então, o gráfico dessa equação em três dimensões é uma esfera perfeita. A simetria é completa em todas as direções, e não depende do ângulo em coordenadas cilíndricas, o que reforça que qualquer rotação ao redor do eixo não altera a forma da esfera.

Resposta

O gráfico da equação em três dimensões é uma esfera de raio 4 unidades, centrada na origem do sistema de coordenadas.

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Encontrar o comprimento de arco da curva dada:
, de até