Descreva o gráfico da equação em três dimensões:
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem a equação
e precisamos descrever o gráfico dela em três dimensões. Isso envolve conceitos de geometria espacial e coordenadas cilíndricas. Para resolver, vamos usar conhecimentos sobre como as coordenadas
,
e
representam pontos no espaço 3D.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que cada coordenada significa nas coordenadas cilíndricas:
-
é a distância do ponto à origem no plano . -
é o ângulo em relação ao eixo . -
é a altura do ponto acima do plano .
Nossa equação é
, o que relaciona
e
.
Passo 3
Vamos reescrever a equação para facilitar:
. Isso mostra que a distância
aumenta três vezes conforme
aumenta. Ou seja, conforme o ponto sobe ou desce no eixo
, ele se afasta ou se aproxima da origem proporcionalmente.
Passo 4
Para visualizar, imagine que no plano
com
, temos
, então o ponto está na origem. À medida que
aumenta,
também aumenta, formando uma espécie de cone que se estende para cima e para baixo a partir da origem.
Passo 5
Esse tipo de gráfico é chamado de cone duplo, pois se estende infinitamente nas duas direções do eixo
. A inclinação do cone é determinada pela relação
, que indica que o ângulo entre a geratriz do cone e o eixo
é tal que o raio aumenta três vezes a altura.
Resposta
O gráfico da equação
em três dimensões é um cone duplo com vértice na origem, onde a distância radial
cresce três vezes a altura
, formando um cone que se estende infinitamente nas direções positiva e negativa do eixo
.