Descreva o gráfico da equação em três dimensões: 3z = r

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem a equação e precisamos descrever o gráfico dela em três dimensões. Isso envolve conceitos de geometria espacial e coordenadas cilíndricas. Para resolver, vamos usar conhecimentos sobre como as coordenadas , e representam pontos no espaço 3D.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que cada coordenada significa nas coordenadas cilíndricas:
  • é a distância do ponto à origem no plano .
  • é o ângulo em relação ao eixo .
  • é a altura do ponto acima do plano .
Nossa equação é , o que relaciona e .

Passo 3

Vamos reescrever a equação para facilitar: . Isso mostra que a distância aumenta três vezes conforme aumenta. Ou seja, conforme o ponto sobe ou desce no eixo , ele se afasta ou se aproxima da origem proporcionalmente.

Passo 4

Para visualizar, imagine que no plano com , temos , então o ponto está na origem. À medida que aumenta, também aumenta, formando uma espécie de cone que se estende para cima e para baixo a partir da origem.

Passo 5

Esse tipo de gráfico é chamado de cone duplo, pois se estende infinitamente nas duas direções do eixo . A inclinação do cone é determinada pela relação , que indica que o ângulo entre a geratriz do cone e o eixo é tal que o raio aumenta três vezes a altura.

Resposta

O gráfico da equação em três dimensões é um cone duplo com vértice na origem, onde a distância radial cresce três vezes a altura , formando um cone que se estende infinitamente nas direções positiva e negativa do eixo .

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