Descreva o gráfico da equação em três dimensões: r = 2 csc(θ) cot(θ)

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede: precisamos descrever o gráfico da equação em três dimensões dada por . O conteúdo envolvido aqui inclui coordenadas esféricas e trigonometria. Para resolver, vamos precisar entender como a equação se comporta nessas coordenadas e usar identidades trigonométricas para simplificar.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que em coordenadas esféricas, é a distância radial, é o ângulo polar (em relação ao eixo z), e é o ângulo azimutal (em relação ao eixo x). A equação dada envolve funções trigonométricas de .

Passo 3

Agora, vamos simplificar a expressão . Sabemos que:
Portanto:
Assim, a equação fica:

Passo 4

Vamos analisar como varia com . Quando se aproxima de 0 ou , tende a 0, fazendo com que aumente significativamente. Isso sugere que o gráfico se estende indefinidamente ao longo do eixo z.

Passo 5

Para visualizar o gráfico, consideramos que para cada , determina a distância do ponto ao origem, enquanto pode variar de 0 a , descrevendo um círculo. Então, para cada valor de , temos um círculo com raio , formando uma superfície.

Passo 6

Combinando tudo, percebemos que a equação descreve um cono. O ângulo do cono em relação ao eixo z é determinado pela relação entre e . A simetria em torno do eixo z é evidente devido à independência de na equação.

Resposta

O gráfico da equação em três dimensões é um cono de raio proporcional a , simétrico em relação ao eixo z.

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