Descreva o gráfico da equação em três dimensões:
Passo 1
Vamos resumir o que a questão pede: precisamos descrever o gráfico da equação em três dimensões dada por
. O conteúdo envolvido aqui inclui coordenadas esféricas e trigonometria. Para resolver, vamos precisar entender como a equação se comporta nessas coordenadas e usar identidades trigonométricas para simplificar.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que em coordenadas esféricas,
é a distância radial,
é o ângulo polar (em relação ao eixo z), e
é o ângulo azimutal (em relação ao eixo x). A equação dada envolve funções trigonométricas de
.
Passo 3
Agora, vamos simplificar a expressão
. Sabemos que:
Portanto:
Assim, a equação fica:
Passo 4
Vamos analisar como
varia com
. Quando
se aproxima de 0 ou
,
tende a 0, fazendo com que
aumente significativamente. Isso sugere que o gráfico se estende indefinidamente ao longo do eixo z.
Passo 5
Para visualizar o gráfico, consideramos que para cada
,
determina a distância do ponto ao origem, enquanto
pode variar de 0 a
, descrevendo um círculo. Então, para cada valor de
, temos um círculo com raio
, formando uma superfície.
Passo 6
Combinando tudo, percebemos que a equação
descreve um cono. O ângulo do cono em relação ao eixo z é determinado pela relação entre
e
. A simetria em torno do eixo z é evidente devido à independência de
na equação.
Resposta
O gráfico da equação
em três dimensões é um cono de raio proporcional a
, simétrico em relação ao eixo z.