Descreva o gráfico de r(t) = <1 + 2t, -1 + 3t>.

Passo 1

Vamos analisar o exercício que pede para descrever o gráfico de . Aqui, estamos trabalhando com funções vetoriais paramétricas no plano cartesiano. Para resolver isso, precisamos entender como essas equações descrevem pontos no gráfico conforme o parâmetro t varia.

Passo 2

Primeiro, vamos separar as componentes da função vetorial. Temos duas equações:
Essas são as equações paramétricas de uma reta, onde x e y são expressos em função de t.

Passo 3

Para entender melhor o gráfico, podemos eliminar o parâmetro t e encontrar a relação direta entre x e y. A partir de x(t):
Agora, substituímos t na equação de y(t):
Então, a equação da reta em termos de x e y é:

Passo 4

Essa equação é a forma explícita de uma reta no plano cartesiano, onde:
  • 3/2 é o coeficiente angular (inclinação) da reta, indicando que para cada aumento de 2 unidades em x, y aumenta em 3 unidades.
  • é o termo constante (intercepto com o eixo y), ou seja, o ponto onde a reta cruza o eixo y.

Passo 5

Além disso, podemos identificar um ponto específico pela função vetorial. Quando :
Então, a reta passa pelo ponto e segue na direção determinada pelo vetor , que é o coeficiente de t em cada componente.

Resposta

O gráfico de é uma reta no plano cartesiano que passa pelo ponto e tem inclinação de 3/2. Essa reta sobe 3 unidades no eixo y para cada 2 unidades que avança no eixo x.

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