O que está errado no seguinte cálculo? Justifique!
Passo 1
Entendendo o enunciado
Vamos analisar o exercício: precisamos identificar o erro no cálculo da integral definida de no intervalo de -1 a 2. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente sobre integrais impróprias e antiderivadas.
Passo 2
Calculando a antiderivada
Primeiro, encontramos a antiderivada de integral 1x^2 dx = integral x^-2 dx = x^-1-1 + C = -1x + C . Sabemos que:
Passo 3
Aplicando os limites de integração
Agora, aplicamos os limites de -1 a 2 na antiderivada encontrada:
-1x|-1^2 = -12 - (-1-1) = -12 - 1 = -32
Passo 4
Identificando o erro
O cálculo acima apresenta um erro importante: a função possui uma descontinuidade em (pois não está definida nesse ponto). Como o intervalo de integração vai de -1 a 2, que inclui , precisamos tratar essa integral como uma integral imprópria.
Passo 5
Tratando a integral como imprópria
Para integrar corretamente, dividimos o intervalo em duas partes e calculamos os limites:
integral-1^2 1x^2 dx = lima to 0^- integral-1^a 1x^2 dx + limb to 0^+ integralb^2 1x^2 dx
Passo 6
Calculando os limites
Calculando cada parte:
lima to 0^- [-1x]-1^a = lima to 0^- (-1a + 1) = -infty + 1 = -infty
limb to 0^+ [-1x]b^2 = limb to 0^+ (-12 + 1b) = -12 + infty = infty
Passo 7
Conclusão sobre a integral
Como uma das partes tende a e a outra a , a integral não converge. Portanto, a integral é divergente.
Resposta
O erro está em calcular a integral sem considerar que é descontinuada em , tornando a integral imprópria e divergente. Portanto, o cálculo apresentado está incorreto.