Descreva o gráfico das seguintes funções.
f(x) = sen^21(x)

Passo 1

Olá! Vamos resolver o exercício que pede para descrever o gráfico da função . Aqui, estamos trabalhando com funções trigonométricas, especificamente com a função seno elevada a uma potência ímpar. Para resolver isso, vamos precisar entender como as potências afetam o gráfico da função seno básica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é o gráfico da função seno básica, . O gráfico do seno é uma curva que oscila entre -1 e 1, com um período de . Ele cruza o eixo x nos pontos múltiplos de .

Passo 3

Agora, vamos pensar no que acontece quando elevamos o seno a uma potência ímpar, como 21. Quando elevamos uma função a uma potência ímpar, preservamos o sinal da função original. Isso significa que, onde a função seno é positiva, também será positiva, e onde for negativa, será negativa.

Passo 4

Além de preservar o sinal, elevar a função a uma potência maior “esticará” o gráfico em direção ao eixo y. Como a potência é 21, que é bem alta, as partes do gráfico onde o seno está perto de 1 ou -1 permanecerão próximas a esses valores, enquanto as partes onde o seno está próximo de 0 se achatarão mais em relação ao eixo x.

Passo 5

Vamos analisar algumas características específicas:
  • Amplitude: A amplitude da função ainda será 1, pois e .
  • Período: O período da função permanece , igual ao da função seno original.
  • Zeros: Os zeros da função ocorrem quando , ou seja, nos múltiplos de .
  • Comportamento: Entre 0 e , é positivo, então também é positivo. Entre e , é negativo, logo também será negativo.

Passo 6

Resumindo, o gráfico de terá a mesma periodicidade do seno, mas com curvas mais estreitas nas regiões onde o seno está próximo de 1 ou -1, e mais achatadas perto de zero. Além disso, manterá a simetria ímpar da função seno, já que a potência é ímpar.

Resposta

O gráfico de apresenta a mesma periodicidade de do seno, com amplitude variando entre -1 e 1. As curvas ficam mais estreitas nas regiões de máximo e mínimo e mais achatadas próximas às interseções com o eixo x, mantendo a simetria e os zeros da função seno original.

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