Descreva o gráfico das seguintes funções.
Passo 1
Olá! Vamos resolver o exercício que pede para descrever o gráfico da função
. Aqui, estamos trabalhando com funções trigonométricas, especificamente com a função seno elevada a uma potência ímpar. Para resolver isso, vamos precisar entender como as potências afetam o gráfico da função seno básica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é o gráfico da função seno básica,
. O gráfico do seno é uma curva que oscila entre -1 e 1, com um período de
. Ele cruza o eixo x nos pontos múltiplos de
.
Passo 3
Agora, vamos pensar no que acontece quando elevamos o seno a uma potência ímpar, como 21. Quando elevamos uma função a uma potência ímpar, preservamos o sinal da função original. Isso significa que, onde a função seno é positiva,
também será positiva, e onde for negativa,
será negativa.
Passo 4
Além de preservar o sinal, elevar a função a uma potência maior “esticará” o gráfico em direção ao eixo y. Como a potência é 21, que é bem alta, as partes do gráfico onde o seno está perto de 1 ou -1 permanecerão próximas a esses valores, enquanto as partes onde o seno está próximo de 0 se achatarão mais em relação ao eixo x.
Passo 5
Vamos analisar algumas características específicas:
- Amplitude: A amplitude da função
ainda será 1, pois e . - Período: O período da função permanece
, igual ao da função seno original. - Zeros: Os zeros da função ocorrem quando
, ou seja, nos múltiplos de . - Comportamento: Entre 0 e
, é positivo, então também é positivo. Entre e , é negativo, logo também será negativo.
Passo 6
Resumindo, o gráfico de
terá a mesma periodicidade do seno, mas com curvas mais estreitas nas regiões onde o seno está próximo de 1 ou -1, e mais achatadas perto de zero. Além disso, manterá a simetria ímpar da função seno, já que a potência é ímpar.
Resposta
O gráfico de
apresenta a mesma periodicidade de
do seno, com amplitude variando entre -1 e 1. As curvas ficam mais estreitas nas regiões de máximo e mínimo e mais achatadas próximas às interseções com o eixo x, mantendo a simetria e os zeros da função seno original.