Uma função
é contínua no ponto
de seu domínio quando tiver limite no ponto
e, além disso,
. Quando
não for contínua no ponto
, diremos que
é descontínua em
e isto ocorrerá quando ao menos uma das condições abaixo se verificar:
- ou
não estiver definida no ponto
;
- ou o limite de
no ponto
não existir;
- ou
tiver limite em
, mas, o valor do limite não coincidir
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está falando. A questão trata das condições que determinam se uma função
é contínua ou descontínua em um ponto específico
do seu domínio. Para resolver isso, precisamos entender os conceitos de limite de uma função, definição de continuidade e as situações que levam à descontinuidade.
Passo 2
Vamos começar definindo continuidade. Uma função
é contínua no ponto
se três condições forem atendidas:
- A função está definida em
: Isto significa que existe. - O limite da função quando
se aproxima de existe: Matemáticamente, isso é existe. - O limite da função é igual ao valor da função no ponto: Ou seja,
.
Se todas essas três condições forem verdadeiras, então a função é contínua em
.
Passo 3
Agora, vamos ver o que acontece quando a função não é contínua em
, ou seja, quando ela é descontínua. Isso ocorre se pelo menos uma das três condições acima não for satisfeita. As situações são:
- A função não está definida em
: Isso significa que não existe. Sem o valor da função no ponto, não podemos ter continuidade. - O limite da função quando
se aproxima de não existe: Se o limite não existir, a função não se aproxima de nenhum valor específico ao se aproximar de , o que quebra a continuidade. - O limite da função existe, mas é diferente do valor da função no ponto: Mesmo que
exista, se esse limite não for igual a , a continuidade também não está presente.
Resposta
Uma função
é descontínua em
se:
-
não estiver definida; - O limite
não existir; - Ou
.
Exercícios relacionados
Descreva o gráfico das seguintes funções.
Descreva o gráfico das seguintes funções.
Seja
uma função tal que a equação da reta tangente ao gráfico de
em
é
e seja
. Determine a equação da reta
, tangente ao gráfico de
em
.
Encontre a solução de cada p.v.i. abaixo: