Uma função é contínua no ponto de seu domínio quando tiver limite no ponto e, além disso, . Quando não for contínua no ponto , diremos que é descontínua em e isto ocorrerá quando ao menos uma das condições abaixo se verificar:
  • ou não estiver definida no ponto ;
  • ou o limite de no ponto não existir;
  • ou tiver limite em , mas, o valor do limite não coincidir .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está falando. A questão trata das condições que determinam se uma função é contínua ou descontínua em um ponto específico do seu domínio. Para resolver isso, precisamos entender os conceitos de limite de uma função, definição de continuidade e as situações que levam à descontinuidade.

Passo 2

Vamos começar definindo continuidade. Uma função é contínua no ponto se três condições forem atendidas:
  1. A função está definida em : Isto significa que existe.
  2. O limite da função quando se aproxima de existe: Matemáticamente, isso é existe.
  3. O limite da função é igual ao valor da função no ponto: Ou seja, .
Se todas essas três condições forem verdadeiras, então a função é contínua em .

Passo 3

Agora, vamos ver o que acontece quando a função não é contínua em , ou seja, quando ela é descontínua. Isso ocorre se pelo menos uma das três condições acima não for satisfeita. As situações são:
  1. A função não está definida em : Isso significa que não existe. Sem o valor da função no ponto, não podemos ter continuidade.
  2. O limite da função quando se aproxima de não existe: Se o limite não existir, a função não se aproxima de nenhum valor específico ao se aproximar de , o que quebra a continuidade.
  3. O limite da função existe, mas é diferente do valor da função no ponto: Mesmo que exista, se esse limite não for igual a , a continuidade também não está presente.

Resposta

Uma função é descontínua em se:
  • não estiver definida;
  • O limite não existir;
  • Ou .

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Encontre a solução de cada p.v.i. abaixo: