Seja
a função dada por
e
uma função derivável que é decrescente em
e crescente em
, e cuja derivada só é zero em
. Considere
. Em quais intervalos
é crescente?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para descobrir em quais intervalos a função
está crescendo. A gente tem duas funções envolvidas:
-
-
é uma função derivável que é decrescente em e crescente em , com a derivada igual a zero só em
Para resolver isso, vamos precisar usar o cálculo de derivadas e entender como elas nos dizem se uma função está crescendo ou decrescendo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada de
. Sabemos que
, então vamos usar a regra da cadeia, que diz que a derivada de uma função composta é a derivada da função externa multiplicada pela derivada da função interna. Matemáticamente, isso fica assim:
Passo 3
Agora, vamos calcular
, a derivada de
:
Então, temos:
Passo 4
Para determinar onde
está crescendo, precisamos saber onde
. Isso depende dos sinais de
e
.
Sabemos que:
-
quando (função decrescente) -
quando (função crescente) -
Passo 5
Vamos analisar
para ver onde ele é menor ou maior que 3.
Resolvendo
:
Então,
quando
está entre 2 e 4, e
quando
ou
.
Passo 6
Agora, vamos considerar o sinal de
:
Então:
-
quando -
quando
Passo 7
Vamos juntar tudo para determinar onde
:
-
Quando
: -
⇒ -
- Produto:
⇒
-
-
Quando
: -
⇒ -
- Produto:
⇒
-
-
Quando
: -
⇒ -
- Produto:
⇒
-
-
Quando
: -
⇒ -
- Produto:
⇒
-
Resposta
A função
é crescente nos intervalos
e
.
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Calcule as derivadas de:
Descreva o gráfico das seguintes funções.
Descreva o gráfico das seguintes funções.
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