Seja a função dada por e uma função derivável que é decrescente em e crescente em , e cuja derivada só é zero em . Considere . Em quais intervalos é crescente?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para descobrir em quais intervalos a função está crescendo. A gente tem duas funções envolvidas:
  • é uma função derivável que é decrescente em e crescente em , com a derivada igual a zero só em
Para resolver isso, vamos precisar usar o cálculo de derivadas e entender como elas nos dizem se uma função está crescendo ou decrescendo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de . Sabemos que , então vamos usar a regra da cadeia, que diz que a derivada de uma função composta é a derivada da função externa multiplicada pela derivada da função interna. Matemáticamente, isso fica assim:

Passo 3

Agora, vamos calcular , a derivada de :
Então, temos:

Passo 4

Para determinar onde está crescendo, precisamos saber onde . Isso depende dos sinais de e .
Sabemos que:
  • quando (função decrescente)
  • quando (função crescente)

Passo 5

Vamos analisar para ver onde ele é menor ou maior que 3.
Resolvendo :
Então, quando está entre 2 e 4, e quando ou .

Passo 6

Agora, vamos considerar o sinal de :
Então:
  • quando
  • quando

Passo 7

Vamos juntar tudo para determinar onde :
  1. Quando :
    • Produto:
  2. Quando :
    • Produto:
  3. Quando :
    • Produto:
  4. Quando :
    • Produto:

Resposta

A função é crescente nos intervalos e .

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Calcule as derivadas de:
Descreva o gráfico das seguintes funções.
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