Descreva o gráfico das seguintes funções.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo e quais ferramentas vamos precisar. A questão quer que a gente descreva o gráfico da função
. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre funções trigonométricas, especialmente o seno, e entender como os diferentes componentes da função influenciam o gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que está dentro do seno:
. Aqui, temos duas funções multiplicadas:
e
. A função
é uma função oscilante que varia entre -1 e 1 com um período de
. Quando multiplicamos
por
, o termo
faz com que a amplitude das oscilações cresça à medida que
aumenta ou diminui.
Passo 3
Agora, vamos analisar a função completa
. O que está acontecendo aqui é que estamos aplicando a função seno a um argumento que está mudando de forma oscilatória e com amplitude variável devido ao
. Isso significa que, enquanto
oscila entre -1 e 1, o termo
faz com que essas oscilações se expandam conforme nos afastamos do zero.
Passo 4
Vamos calcular alguns pontos para ter uma ideia de como o gráfico se comporta:
-
Quando
: -
Quando
: -
Quando
:
Esses pontos mostram que o gráfico passa por zero em múltiplos de
, mas precisamos olhar mais a fundo para o comportamento entre esses pontos.
Passo 5
Vamos pensar em como o termo
afeta a frequência do seno. Como
está multiplicando
, à medida que
aumenta, o argumento de
também cresce, mas de forma oscilante. Isso pode fazer com que as oscilações do seno pareçam mais “compressas” ou “esticadas” dependendo de
.
Resposta
O gráfico da função
apresenta oscilações periódicas características do seno, mas com uma frequência e amplitude que variam conforme
muda. Perto de
, o gráfico se comporta de maneira semelhante ao gráfico do seno padrão, passando suavemente por zero. À medida que
aumenta, as oscilações se tornam mais complexas devido à multiplicação por
, resultando em áreas onde as ondas do seno parecem se comprimir ou esticar. Em múltiplos de
, o gráfico cruza o eixo
, refletindo os zeros da função. No geral, o gráfico combina a natureza oscilante do seno com a variação influenciada pelo termo
, criando um padrão dinâmico e interessante.
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Calcule as derivadas de:
Seja
a função dada por
e
uma função derivável que é decrescente em
e crescente em
, e cuja derivada só é zero em
. Considere
. Em quais intervalos
é crescente?