Descreva o gráfico das seguintes funções.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo e quais ferramentas vamos precisar. A questão quer que a gente descreva o gráfico da função . Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre funções trigonométricas, especialmente o seno, e entender como os diferentes componentes da função influenciam o gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que está dentro do seno: . Aqui, temos duas funções multiplicadas: e . A função é uma função oscilante que varia entre -1 e 1 com um período de . Quando multiplicamos por , o termo faz com que a amplitude das oscilações cresça à medida que aumenta ou diminui.

Passo 3

Agora, vamos analisar a função completa . O que está acontecendo aqui é que estamos aplicando a função seno a um argumento que está mudando de forma oscilatória e com amplitude variável devido ao . Isso significa que, enquanto oscila entre -1 e 1, o termo faz com que essas oscilações se expandam conforme nos afastamos do zero.

Passo 4

Vamos calcular alguns pontos para ter uma ideia de como o gráfico se comporta:
  • Quando :
  • Quando :
  • Quando :
Esses pontos mostram que o gráfico passa por zero em múltiplos de , mas precisamos olhar mais a fundo para o comportamento entre esses pontos.

Passo 5

Vamos pensar em como o termo afeta a frequência do seno. Como está multiplicando , à medida que aumenta, o argumento de também cresce, mas de forma oscilante. Isso pode fazer com que as oscilações do seno pareçam mais “compressas” ou “esticadas” dependendo de .

Resposta

O gráfico da função apresenta oscilações periódicas características do seno, mas com uma frequência e amplitude que variam conforme muda. Perto de , o gráfico se comporta de maneira semelhante ao gráfico do seno padrão, passando suavemente por zero. À medida que aumenta, as oscilações se tornam mais complexas devido à multiplicação por , resultando em áreas onde as ondas do seno parecem se comprimir ou esticar. Em múltiplos de , o gráfico cruza o eixo , refletindo os zeros da função. No geral, o gráfico combina a natureza oscilante do seno com a variação influenciada pelo termo , criando um padrão dinâmico e interessante.

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Calcule as derivadas de:
Seja a função dada por e uma função derivável que é decrescente em e crescente em , e cuja derivada só é zero em . Considere . Em quais intervalos é crescente?