Descreva o(s) intervalo(s) no(s) qual(is) a função é contínua. Explique por que a função é contínua no(s) intervalo(s). Se a função tiver uma descontinuidade, identifique as condições de continuidade que não são satisfeitas.
20. f(x) = 1/(x^2 + 1)

Passo 1

Então, a gente tem uma função e precisa descobrir em quais intervalos ela é contínua. A matéria que vamos usar aqui é sobre continuidade de funções, que basicamente verifica se a função não tem “quebras” ou “saltos” no seu gráfico. Para resolver isso, vamos precisar olhar para os valores de que fazem o denominador zero, porque esses valores podem gerar problemas na continuidade.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os valores de que podem causar descontinuidade na função. Descontinuidades geralmente acontecem onde a função não está definida, ou seja, onde o denominador é zero.

Passo 3

Vamos resolver a equação para encontrar esses pontos problemáticos:
Aqui, percebemos que não existem números reais que elevados ao quadrado dão -1. Ou seja, nunca é zero para nenhum número real.

Passo 4

Como o denominador nunca é zero para valores reais de , a função está definida para todos os números reais. Isso significa que não há pontos onde a função é indefinida.

Passo 5

Agora, vamos lembrar da definição de continuidade. Uma função é contínua em um intervalo se não houver interrupções, buracos ou saltos no gráfico. Como nossa função está definida para todos os reais e não apresenta operações que causariam descontinuidades (como radiciação de índice par de expressão negativa ou divisão por zero), podemos concluir que ela é contínua em todo o seu domínio.

Resposta

A função é contínua para todos os números reais, ou seja, no intervalo . Não há descontinuidades porque o denominador nunca é zero, garantindo que a função esteja definida e sem interrupções em todo o seu domínio.

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