Esboçar o hodógrafo das seguintes funções vetoriais:
(f)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o hodógrafo da função vetorial dada, que é basicamente o gráfico da velocidade do objeto em movimento. Para isso, a gente vai precisar entender como calcular a velocidade a partir da posição e depois representar isso em um gráfico. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função vetorial r(t) nos dá a posição do objeto em função do tempo t. Para encontrar a velocidade, a gente precisa calcular a derivada dessa função em relação ao tempo. Ou seja, v(t) = r’(t). Vamos fazer isso passo a passo.

Passo 3

A função vetorial dada é:
Vamos derivar cada componente dessa função:
  1. Primeira componente:
    A derivada de é , e a derivada de é . Então, a derivada da primeira componente é:
  2. Segunda componente:
    A derivada de é . Então:
  3. Terceira componente:
    Similarmente, a derivada de é . Então:

Passo 4

Agora que temos as derivadas de cada componente, podemos escrever a função velocidade v(t):

Passo 5

O hodógrafo é o gráfico da função velocidade v(t) no espaço. Vamos analisar como cada componente da velocidade varia com o tempo t:
  • A primeira componente oscila entre e .
  • A segunda componente oscila entre e .
  • A terceira componente oscila entre e .
Isso significa que o hodógrafo vai ser uma curva que oscila de acordo com essas amplitudes nas respectivas direções.

Resposta

O hodógrafo da função vetorial dada é uma curva tridimensional definida por:
Essa curva oscila nas direções x, y e z com amplitudes de 3, 2 e 4 unidades, respectivamente, formando uma trajetória sinusoidal no espaço.

Exercícios relacionados

Determine a derivada direcional de no ponto dado e na direção indicada pelo ângulo .
(e)
Descreva o(s) intervalo(s) no(s) qual(is) a função é contínua. Explique por que a função é contínua no(s) intervalo(s). Se a função tiver uma descontinuidade, identifique as condições de continuidade que não são satisfeitas.
17.
Descreva o(s) intervalo(s) no(s) qual(is) a função é contínua. Explique por que a função é contínua no(s) intervalo(s). Se a função tiver uma descontinuidade, identifique as condições de continuidade que não são satisfeitas.
20.
(i) Determine o gradiente de .
(ii) Calcule o gradiente no ponto .
(iii) Determine a taxa de variação de na direção do vetor .
(b)