(i) Determine o gradiente de
.
(ii) Calcule o gradiente no ponto
.
(iii) Determine a taxa de variação de
na direção do vetor
.
(b)
(ii) Calcule o gradiente no ponto
(iii) Determine a taxa de variação de
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão está relacionada ao cálculo do gradiente de uma função de duas variáveis, avaliar esse gradiente em um ponto específico e determinar a taxa de variação da função nessa direção. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas parciais e vetores unitários.
Passo 2
(i) Determinar o gradiente de
.
O gradiente de uma função
é um vetor que contém as derivadas parciais de
em relação a
e
. Ele nos dá a direção de maior aumento da função.
Dada a função:
Vamos calcular as derivadas parciais:
- Derivada parcial em relação a
:
- Derivada parcial em relação a
:
Portanto, o gradiente de
é:
Passo 3
(ii) Calcular o gradiente no ponto
.
Agora que temos o gradiente geral, vamos avaliá-lo no ponto específico
.
Substituindo
e
nas componentes do gradiente:
- Primeira componente:
- Segunda componente:
Portanto, o gradiente no ponto
é:
Passo 4
(iii) Determinar a taxa de variação de
em
na direção do vetor
.
A taxa de variação de
na direção de um vetor unitário
é dada pelo produto escalar entre o gradiente de
no ponto
e o vetor
.
Dado:
E o gradiente em
:
Calculamos o produto escalar:
Simplificando:
Resposta
A taxa de variação de
em
na direção do vetor
é
.
Exercícios relacionados
Descreva o(s) intervalo(s) no(s) qual(is) a função é contínua. Explique por que a função é contínua no(s) intervalo(s). Se a função tiver uma descontinuidade, identifique as condições de continuidade que não são satisfeitas.
20.
20.
Esboçar o hodógrafo das seguintes funções vetoriais:
(f)
(f)
Descreva o(s) intervalo(s) no(s) qual(is) a função é contínua. Explique por que a função é contínua no(s) intervalo(s). Se a função tiver uma descontinuidade, identifique as condições de continuidade que não são satisfeitas.
24.
24.
Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor
.
(d)
(d)