(i) Determine o gradiente de f.
(ii) Calcule o gradiente no ponto P.
(iii) Determine a taxa de variação de f em P na direção do vetor u.
(b) f(x, y) = e^x sen(y), P(1, pi/4), u = <-1/raiz(5), 2/raiz(5)>

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão está relacionada ao cálculo do gradiente de uma função de duas variáveis, avaliar esse gradiente em um ponto específico e determinar a taxa de variação da função nessa direção. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas parciais e vetores unitários.

Passo 2

(i) Determinar o gradiente de .
O gradiente de uma função é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação a e . Ele nos dá a direção de maior aumento da função.
Dada a função:
Vamos calcular as derivadas parciais:
  1. Derivada parcial em relação a :
  1. Derivada parcial em relação a :
Portanto, o gradiente de é:

Passo 3

(ii) Calcular o gradiente no ponto .
Agora que temos o gradiente geral, vamos avaliá-lo no ponto específico .
Substituindo e nas componentes do gradiente:
  1. Primeira componente:
  1. Segunda componente:
Portanto, o gradiente no ponto é:

Passo 4

(iii) Determinar a taxa de variação de em na direção do vetor .
A taxa de variação de na direção de um vetor unitário é dada pelo produto escalar entre o gradiente de no ponto e o vetor .
Dado:
E o gradiente em :
Calculamos o produto escalar:
Simplificando:

Resposta

A taxa de variação de em na direção do vetor é .

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