Determine a derivada direcional de no ponto dado e na direção indicada pelo ângulo .
(e)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada direcional da função no ponto na direção do ângulo . Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e o cálculo de derivadas direcionais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma derivada direcional. Ela nos diz a taxa de variação da função em uma direção específica a partir de um ponto dado. Para calcular isso, precisamos conhecer as derivadas parciais de em relação a e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de :
A derivada parcial em relação a é:
A derivada parcial em relação a é:

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto :
Para :
Para :

Passo 5

Em seguida, precisamos identificar a direção para a qual queremos calcular a derivada direcional. O ângulo corresponde a uma direção perpendicular ao eixo , ou seja, na direção positiva do eixo .
O vetor direcional pode ser obtido usando as componentes:

Passo 6

Agora, usamos a fórmula da derivada direcional:
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção do ângulo é igual a 1.

Exercícios relacionados

Descreva o(s) intervalo(s) no(s) qual(is) a função é contínua. Explique por que a função é contínua no(s) intervalo(s). Se a função tiver uma descontinuidade, identifique as condições de continuidade que não são satisfeitas.
17.
Esboçar o hodógrafo das seguintes funções vetoriais:
(d)
Esboçar o hodógrafo das seguintes funções vetoriais:
(f)
Descreva o(s) intervalo(s) no(s) qual(is) a função é contínua. Explique por que a função é contínua no(s) intervalo(s). Se a função tiver uma descontinuidade, identifique as condições de continuidade que não são satisfeitas.
20.