Determine a derivada direcional de
no ponto dado e na direção indicada pelo ângulo
.
(e)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada direcional da função
no ponto
na direção do ângulo
. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e o cálculo de derivadas direcionais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma derivada direcional. Ela nos diz a taxa de variação da função
em uma direção específica a partir de um ponto dado. Para calcular isso, precisamos conhecer as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
:
A derivada parcial em relação a
é:
A derivada parcial em relação a
é:
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto
:
Para
:
Para
:
Passo 5
Em seguida, precisamos identificar a direção para a qual queremos calcular a derivada direcional. O ângulo
corresponde a uma direção perpendicular ao eixo
, ou seja, na direção positiva do eixo
.
O vetor direcional
pode ser obtido usando as componentes:
Passo 6
Agora, usamos a fórmula da derivada direcional:
Substituindo os valores que encontramos:
Resposta
A derivada direcional de
no ponto
na direção do ângulo
é igual a 1.
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Descreva o(s) intervalo(s) no(s) qual(is) a função é contínua. Explique por que a função é contínua no(s) intervalo(s). Se a função tiver uma descontinuidade, identifique as condições de continuidade que não são satisfeitas.
17.
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(d)
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20.
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