Descreva o(s) intervalo(s) no(s) qual(is) a função é contínua. Explique por que a função é contínua no(s) intervalo(s). Se a função tiver uma descontinuidade, identifique as condições de continuidade que não são satisfeitas.
24.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para identificar os intervalos onde a função
é contínua. Para isso, vamos precisar entender o que é continuidade de uma função e como a função parte inteira
se comporta. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um intervalo. Uma função é contínua em um ponto se não apresenta “quebras”, “saltos” ou “buracos”. Ou seja, o limite quando
se aproxima desse ponto pela direita e pela esquerda deve ser igual ao valor da função nesse ponto.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a função
. Aqui,
representa a parte inteira de
, que é o maior inteiro menor ou igual a
. Por exemplo,
e
.
Passo 4
A parte inteira
é uma função que tem pontos de descontinuidade em cada número inteiro. Isso acontece porque, à medida que
se aproxima de um inteiro
pela esquerda (
),
é igual a
, e quando
se aproxima de
pela direita (
),
é igual a
. Isso causa um salto na função.
Passo 5
Vamos analisar
:
Como
é contínuo em todos os pontos, a descontinuidade de
dependerá da parte
. Sabemos que
é descontínua nos inteiros, então
também será descontínua nesses pontos.
Passo 6
Portanto, a função
será contínua em todos os intervalos onde
é contínua, ou seja, nos intervalos entre os inteiros. Especificamente,
é contínua em cada intervalo aberto
, onde
é um número inteiro.
Passo 7
Nos pontos inteiros,
, a função apresenta descontinuidade porque a parte inteira
salta de
para
, causando um salto na função
.
Resposta
A função
é contínua em todos os intervalos
, onde
é um número inteiro. Ela apresenta descontinuidade nos pontos inteiros
devido ao salto na parte inteira
, que não satisfaz as condições de continuidade nesses pontos.
Exercícios relacionados
(i) Determine o gradiente de
.
(ii) Calcule o gradiente no ponto .
(iii) Determine a taxa de variação de na direção do vetor
.
(b)
(ii) Calcule o gradiente no ponto
(iii) Determine a taxa de variação de
(b)
Descreva o(s) intervalo(s) no(s) qual(is) a função é contínua. Explique por que a função é contínua no(s) intervalo(s). Se a função tiver uma descontinuidade, identifique as condições de continuidade que não são satisfeitas.
20.
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Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor
.
(d)
(d)
Descreva o(s) intervalo(s) no(s) qual(is) a função é contínua. Explique por que a função é contínua no(s) intervalo(s). Se a função tiver uma descontinuidade, identifique as condições de continuidade que não são satisfeitas.
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