Descreva o(s) intervalo(s) no(s) qual(is) a função é contínua. Explique por que a função é contínua no(s) intervalo(s). Se a função tiver uma descontinuidade, identifique as condições de continuidade que não são satisfeitas.
24.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para identificar os intervalos onde a função é contínua. Para isso, vamos precisar entender o que é continuidade de uma função e como a função parte inteira se comporta. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um intervalo. Uma função é contínua em um ponto se não apresenta “quebras”, “saltos” ou “buracos”. Ou seja, o limite quando se aproxima desse ponto pela direita e pela esquerda deve ser igual ao valor da função nesse ponto.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a função . Aqui, representa a parte inteira de , que é o maior inteiro menor ou igual a . Por exemplo, e .

Passo 4

A parte inteira é uma função que tem pontos de descontinuidade em cada número inteiro. Isso acontece porque, à medida que se aproxima de um inteiro pela esquerda ( ), é igual a , e quando se aproxima de pela direita ( ), é igual a . Isso causa um salto na função.

Passo 5

Vamos analisar :
Como é contínuo em todos os pontos, a descontinuidade de dependerá da parte . Sabemos que é descontínua nos inteiros, então também será descontínua nesses pontos.

Passo 6

Portanto, a função será contínua em todos os intervalos onde é contínua, ou seja, nos intervalos entre os inteiros. Especificamente, é contínua em cada intervalo aberto , onde é um número inteiro.

Passo 7

Nos pontos inteiros, , a função apresenta descontinuidade porque a parte inteira salta de para , causando um salto na função .

Resposta

A função é contínua em todos os intervalos , onde é um número inteiro. Ela apresenta descontinuidade nos pontos inteiros devido ao salto na parte inteira , que não satisfaz as condições de continuidade nesses pontos.

Exercícios relacionados

(i) Determine o gradiente de .
(ii) Calcule o gradiente no ponto .
(iii) Determine a taxa de variação de na direção do vetor .
(b)
Descreva o(s) intervalo(s) no(s) qual(is) a função é contínua. Explique por que a função é contínua no(s) intervalo(s). Se a função tiver uma descontinuidade, identifique as condições de continuidade que não são satisfeitas.
20.
Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor .
(d)
Descreva o(s) intervalo(s) no(s) qual(is) a função é contínua. Explique por que a função é contínua no(s) intervalo(s). Se a função tiver uma descontinuidade, identifique as condições de continuidade que não são satisfeitas.
27.