Descreva o(s) intervalo(s) no(s) qual(is) a função é contínua. Explique por que a função é contínua no(s) intervalo(s). Se a função tiver uma descontinuidade, identifique as condições de continuidade que não são satisfeitas.
27.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pede pra gente descobrir em quais intervalos a função é contínua. A matéria aqui é continuidade de funções, e pra resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua e verificar isso em cada parte da função que foi dada.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a função que a gente tem:
Essa é uma função por partes, ou seja, ela é definida por expressões diferentes dependendo do valor de .

Passo 3

Agora, cada parte da função é uma reta, que sabemos que são funções contínuas em todo o seu domínio. Então, separadamente, tanto quanto são contínuas.

Passo 4

O lance que a gente precisa verificar é o que acontece no ponto onde a definição da função muda, que nesse caso é em . Precisamos ver se a função é contínua nesse ponto.

Passo 5

Para a função ser contínua em , devem ser verdadeiros três critérios:
  1. existe.
  2. O limite de quando se aproxima de 2 pela esquerda ( ) existe.
  3. O limite de quando se aproxima de 2 pela direita ( ) existe.
  4. E esses limites laterais devem ser iguais ao valor da função em 2, ou seja:

Passo 6

Vamos calcular cada parte:

Passo 7

Observamos que:
Como os limites laterais não são iguais ( ), a função não é contínua em .

Resposta

A função é contínua em todos os números reais menos em . Ela tem uma descontinuidade do tipo salto nesse ponto porque os limites laterais não coincidem com o valor da função em .

Exercícios relacionados

Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor .
(d)
Descreva o(s) intervalo(s) no(s) qual(is) a função é contínua. Explique por que a função é contínua no(s) intervalo(s). Se a função tiver uma descontinuidade, identifique as condições de continuidade que não são satisfeitas.
24.
Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor .
(h)