Descreva o(s) intervalo(s) no(s) qual(is) a função é contínua. Explique por que a função é contínua no(s) intervalo(s). Se a função tiver uma descontinuidade, identifique as condições de continuidade que não são satisfeitas.
27.
27.
Passo 1
Então, a gente tem um exercício que pede pra gente descobrir em quais intervalos a função é contínua. A matéria aqui é continuidade de funções, e pra resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua e verificar isso em cada parte da função que foi dada.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar a função que a gente tem:
Essa é uma função por partes, ou seja, ela é definida por expressões diferentes dependendo do valor de
.
Passo 3
Agora, cada parte da função é uma reta, que sabemos que são funções contínuas em todo o seu domínio. Então, separadamente, tanto
quanto
são contínuas.
Passo 4
O lance que a gente precisa verificar é o que acontece no ponto onde a definição da função muda, que nesse caso é em
. Precisamos ver se a função é contínua nesse ponto.
Passo 5
Para a função ser contínua em
, devem ser verdadeiros três critérios:
-
existe. - O limite de
quando se aproxima de 2 pela esquerda ( ) existe. - O limite de
quando se aproxima de 2 pela direita ( ) existe. - E esses limites laterais devem ser iguais ao valor da função em 2, ou seja:
Passo 6
Vamos calcular cada parte:
Passo 7
Observamos que:
Como os limites laterais não são iguais (
), a função não é contínua em
.
Resposta
A função
é contínua em todos os números reais menos em
. Ela tem uma descontinuidade do tipo salto nesse ponto porque os limites laterais não coincidem com o valor da função em
.
Exercícios relacionados
Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor
.
(d)
(d)
Descreva o(s) intervalo(s) no(s) qual(is) a função é contínua. Explique por que a função é contínua no(s) intervalo(s). Se a função tiver uma descontinuidade, identifique as condições de continuidade que não são satisfeitas.
24.
24.
Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor
.
(h)
(h)