Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor .
(d)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de derivada direcional. A gente tem a função no ponto e queremos achar a derivada direcional nessa direção do vetor . Para isso, precisamos calcular o gradiente da função e normalizar o vetor direção.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais da função em relação a e .
Assim, o gradiente de é:

Passo 3

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto .
Sabemos que:
Substituindo esses valores na expressão do gradiente:

Passo 4

Vamos agora normalizar o vetor direção .
O comprimento do vetor é:
Portanto, o vetor unitário na direção de é:

Passo 5

Finalmente, calculamos a derivada direcional como o produto escalar do gradiente avaliado no ponto com o vetor unitário:

Resposta

A derivada direcional é .

Exercícios relacionados

Descreva o(s) intervalo(s) no(s) qual(is) a função é contínua. Explique por que a função é contínua no(s) intervalo(s). Se a função tiver uma descontinuidade, identifique as condições de continuidade que não são satisfeitas.
24.
(i) Determine o gradiente de .
(ii) Calcule o gradiente no ponto .
(iii) Determine a taxa de variação de na direção do vetor .
(b)
Descreva o(s) intervalo(s) no(s) qual(is) a função é contínua. Explique por que a função é contínua no(s) intervalo(s). Se a função tiver uma descontinuidade, identifique as condições de continuidade que não são satisfeitas.
27.
Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor .
(h)