Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor v.
(d) g(x, y) = e^x cos(y), (1, pi/6), v = i - j

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de derivada direcional. A gente tem a função no ponto e queremos achar a derivada direcional nessa direção do vetor . Para isso, precisamos calcular o gradiente da função e normalizar o vetor direção.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais da função em relação a e .
Assim, o gradiente de é:

Passo 3

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto .
Sabemos que:
Substituindo esses valores na expressão do gradiente:

Passo 4

Vamos agora normalizar o vetor direção .
O comprimento do vetor é:
Portanto, o vetor unitário na direção de é:

Passo 5

Finalmente, calculamos a derivada direcional como o produto escalar do gradiente avaliado no ponto com o vetor unitário:

Resposta

A derivada direcional é .

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