Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor
.
(d)
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de derivada direcional. A gente tem a função
no ponto
e queremos achar a derivada direcional nessa direção do vetor
. Para isso, precisamos calcular o gradiente da função e normalizar o vetor direção.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais da função
em relação a
e
.
Assim, o gradiente de
é:
Passo 3
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto
.
Sabemos que:
Substituindo esses valores na expressão do gradiente:
Passo 4
Vamos agora normalizar o vetor direção
.
O comprimento do vetor
é:
Portanto, o vetor unitário na direção de
é:
Passo 5
Finalmente, calculamos a derivada direcional como o produto escalar do gradiente avaliado no ponto com o vetor unitário:
Resposta
A derivada direcional é
.
Exercícios relacionados
Descreva o(s) intervalo(s) no(s) qual(is) a função é contínua. Explique por que a função é contínua no(s) intervalo(s). Se a função tiver uma descontinuidade, identifique as condições de continuidade que não são satisfeitas.
24.
24.
(i) Determine o gradiente de
.
(ii) Calcule o gradiente no ponto .
(iii) Determine a taxa de variação de na direção do vetor
.
(b)
(ii) Calcule o gradiente no ponto
(iii) Determine a taxa de variação de
(b)
Descreva o(s) intervalo(s) no(s) qual(is) a função é contínua. Explique por que a função é contínua no(s) intervalo(s). Se a função tiver uma descontinuidade, identifique as condições de continuidade que não são satisfeitas.
27.
27.
Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor
.
(h)
(h)