Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor v.
(h) g(x, y, z) = z^3 - x^2 * y, (1, 6, 2), v = 3i + 4j + 12k

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos determinar a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . Para isso, vamos precisar calcular o gradiente da função e o vetor unitário na direção de .

Passo 2

Vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função em relação a cada variável.
Calculando cada derivada parcial:
No ponto :
Portanto, o gradiente em é:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o vetor unitário na direção de . Para isso, vamos calcular a norma de :
Então, o vetor unitário na direção de é:

Passo 4

A derivada direcional é dada pelo produto escalar entre o gradiente e o vetor unitário :
Vamos calcular cada termo:
Somando tudo:

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção de é 8.

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