Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor
.
(h)
(h)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos determinar a derivada direcional da função
no ponto
na direção do vetor
. Para isso, vamos precisar calcular o gradiente da função e o vetor unitário na direção de
.
Passo 2
Vamos calcular o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função em relação a cada variável.
Calculando cada derivada parcial:
No ponto
:
Portanto, o gradiente em
é:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o vetor unitário na direção de
. Para isso, vamos calcular a norma de
:
Então, o vetor unitário
na direção de
é:
Passo 4
A derivada direcional
é dada pelo produto escalar entre o gradiente
e o vetor unitário
:
Vamos calcular cada termo:
Somando tudo:
Resposta
A derivada direcional de
no ponto
na direção de
é 8.
Exercícios relacionados
Descreva o(s) intervalo(s) no(s) qual(is) a função é contínua. Explique por que a função é contínua no(s) intervalo(s). Se a função tiver uma descontinuidade, identifique as condições de continuidade que não são satisfeitas.
27.
27.
Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor
.
(d)
(d)
Determine as equações (i) do plano tangente e (ii) da reta normal para a superfície dada no ponto especificado.
(e)
(e)