Descreva o(s) intervalo(s) no(s) qual(is) a função é contínua. Explique por que a função é contínua no(s) intervalo(s). Se a função tiver uma descontinuidade, identifique as condições de continuidade que não são satisfeitas.
30.
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Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem a função
e precisa descobrir em quais intervalos essa função é contínua. Pra isso, vamos precisar saber sobre continuidade de funções e como lidar com valores absolutos. Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função
. O valor absoluto
sempre dá um número positivo ou zero, independente do valor dentro dele. Então, a gente precisa ver como o denominador
se comporta.
Passo 3
É importante lembrar que uma função é contínua em um ponto se ela está definida nesse ponto e se o limite existe e é igual ao valor da função nesse ponto. Então, vamos verificar onde a função está definida. O denominador
não pode ser zero, porque divisão por zero não é permitida. Assim,
, o que significa que
.
Passo 4
Agora, vamos simplificar a função. Sabemos que:
Então, a função
fica:
Passo 5
Agora que simplificamos, vemos que para
e
, a função
é igual a 1 e -1, respectivamente. Essas são funções constantes, que são contínuas em todos os seus domínios. A única questão é no ponto
, onde a função não está definida.
Passo 6
Como a função não está definida em
, ela tem uma descontinuidade nesse ponto. Isso significa que a função é contínua em todos os reais exceto em
.
Resposta
A função
é contínua em todos os números reais, exceto em
. A descontinuidade ocorre em
porque o denominador se anula, tornando a função indefinida nesse ponto.