Determine as equações (i) do plano tangente e (ii) da reta normal para a superfície dada no ponto especificado.
(e) x e^(y z) = 1, (1, 0, 5)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar duas coisas para a superfície definida por no ponto :
  1. Equação do plano tangente: Esse é um plano que “toca” a superfície exatamente naquele ponto.
  2. Equação da reta normal: Essa é uma reta que é perpendicular ao plano tangente no ponto dado.
Vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e vetores normais, para chegar nessas equações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para achar o plano tangente a uma superfície definida por em um ponto , a equação do plano é dada por:
Então, vamos começar definindo nossa função .

Passo 3

A função que define nossa superfície é:
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a , e .

Passo 4

Calculando as derivadas parciais:
  1. Derivada parcial em relação a :
  1. Derivada parcial em relação a :
  1. Derivada parcial em relação a :
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto .

Passo 5

Substituindo nas derivadas parciais:
  1. no ponto:
  1. no ponto:
  1. no ponto:

Passo 6

Agora que temos as derivadas parciais no ponto dado, podemos escrever a equação do plano tangente usando a fórmula mencionada no Passo 2:
Simplificando:

Passo 7

Para encontrar a equação da reta normal, precisamos de um ponto através do qual a reta passa e de um vetor diretor que seja perpendicular ao plano tangente. Esse vetor diretor é dado pelo vetor gradiente no ponto, que já calculamos como .
A equação da reta normal pode ser escrita em forma paramétrica:
Onde são as componentes do vetor diretor e é o parâmetro.

Passo 8

Substituindo os valores:
  • Ponto
  • Vetor diretor
As equações paramétricas ficam:

Resposta

(i) A equação do plano tangente é .
(ii) A equação da reta normal é:

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