Determine as equações (i) do plano tangente e (ii) da reta normal para a superfície dada no ponto especificado.
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar duas coisas para a superfície definida por no ponto :
Equação do plano tangente: Esse é um plano que “toca” a superfície exatamente naquele ponto.
Equação da reta normal: Essa é uma reta que é perpendicular ao plano tangente no ponto dado.
Vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e vetores normais, para chegar nessas equações.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para achar o plano tangente a uma superfície definida por em um ponto , a equação do plano é dada por:
Então, vamos começar definindo nossa função .
Passo 3
A função que define nossa superfície é:
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a , e .
Passo 4
Calculando as derivadas parciais:
Derivada parcial em relação a :
Derivada parcial em relação a :
Derivada parcial em relação a :
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto .
Passo 5
Substituindo nas derivadas parciais:
no ponto:
no ponto:
no ponto:
Passo 6
Agora que temos as derivadas parciais no ponto dado, podemos escrever a equação do plano tangente usando a fórmula mencionada no Passo 2:
Simplificando:
Passo 7
Para encontrar a equação da reta normal, precisamos de um ponto através do qual a reta passa e de um vetor diretor que seja perpendicular ao plano tangente. Esse vetor diretor é dado pelo vetor gradiente no ponto, que já calculamos como .
A equação da reta normal pode ser escrita em forma paramétrica:
Onde são as componentes do vetor diretor e é o parâmetro.