Descreva o(s) intervalo(s) no(s) qual(is) a função é contínua. Explique por que a função é contínua no(s) intervalo(s). Se a função tiver uma descontinuidade, identifique as condições de continuidade que não são satisfeitas.
23. f(x) = [2x] + 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir em quais intervalos a função é contínua. Aqui, estamos lidando com o tema de continuidade de funções, e para resolver isso, vamos precisar entender como a função piso (ou função parte inteira) funciona.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a função piso, representada por . A função piso de um número real , escrita como , dá o maior número inteiro que é menor ou igual a . Por exemplo, e .

Passo 3

Agora, olhemos para a nossa função . A parte dentro da função piso significa que estamos multiplicando por 2 antes de aplicar a função piso. Isso afeta onde a função pode ter “saltos” ou descontinuidades.
A função piso tem descontinuidades nos pontos onde o argumento dentro dela é um número inteiro. No nosso caso, isso acontece quando é um número inteiro. Vamos descobrir onde isso ocorre:
é
Então, os pontos de descontinuidade são todos os números da forma , onde é um inteiro (…, -2, -1, 0, 1, 2, …).

Passo 4

Entre esses pontos de descontinuidade, a função é constante. Isso significa que também é constante entre esses pontos, o que implica que é contínua nesses intervalos.
Portanto, a função é contínua em todos os intervalos abertos entre dois pontos de descontinuidade, ou seja, em intervalos da forma , onde é um inteiro.

Resposta

A função é contínua em todos os intervalos abertos , onde é um número inteiro. Nas extremidades desses intervalos ( ), a função apresenta descontinuidade porque não satisfaz as condições de continuidade nesses pontos.

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