Determine um vetor unitário na direção do qual
decresce mais rapidamente em
obtenha a taxa de variação de
em
nessa direção.
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar um vetor unitário na direção em que a função
diminui mais rapidamente no ponto
. Além disso, queremos saber qual é a taxa de variação de
nessa direção. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente o gradiente e as derivadas direcionais.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e é composto pelas derivadas parciais de
em relação a
e
.
Então, vamos calcular as derivadas parciais:
Portanto, o gradiente de
é:
Passo 3
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto
. Substituindo
e
na expressão do gradiente:
Passo 4
A direção de diminuição mais rápida da função
é na direção oposta ao gradiente. Então, precisamos pegar o vetor gradiente que encontramos e inverter seu sinal:
Passo 5
Agora, queremos um vetor unitário nessa direção. Para isso, vamos normalizar o vetor
. A normalização de um vetor
é dada por:
Onde
é o modulo do vetor, calculado por:
Calculando o módulo de
:
Então, o vetor unitário na direção de diminuição mais rápida é:
Passo 6
Finalmente, queremos a taxa de variação de
na direção escolhida. A taxa de variação direcional é dada pelo produto escalar do gradiente com o vetor unitário na direção considerada:
Substituindo os valores:
Calculando o produto escalar:
Resposta
O vetor unitário na direção em que
diminui mais rapidamente em
é:
A taxa de variação de
nessa direção é: