Determine um vetor unitário na direção do qual f decresce mais rapidamente em P e obtenha a taxa de variação de f em P nessa direção.
(a) f(x, y) = 20 - x^2 - y^2 ; P(-1, -3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar um vetor unitário na direção em que a função diminui mais rapidamente no ponto . Além disso, queremos saber qual é a taxa de variação de nessa direção. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente o gradiente e as derivadas direcionais.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e é composto pelas derivadas parciais de em relação a e .
Então, vamos calcular as derivadas parciais:
Portanto, o gradiente de é:

Passo 3

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto . Substituindo e na expressão do gradiente:

Passo 4

A direção de diminuição mais rápida da função é na direção oposta ao gradiente. Então, precisamos pegar o vetor gradiente que encontramos e inverter seu sinal:
çãá

Passo 5

Agora, queremos um vetor unitário nessa direção. Para isso, vamos normalizar o vetor . A normalização de um vetor é dada por:
Onde é o modulo do vetor, calculado por:
Calculando o módulo de :
Então, o vetor unitário na direção de diminuição mais rápida é:

Passo 6

Finalmente, queremos a taxa de variação de na direção escolhida. A taxa de variação direcional é dada pelo produto escalar do gradiente com o vetor unitário na direção considerada:
Substituindo os valores:
Calculando o produto escalar:

Resposta

O vetor unitário na direção em que diminui mais rapidamente em é:
A taxa de variação de nessa direção é:

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