6- Obtenha o limite.
(a) r(t) = e^t i + cossec(t) k

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função vetorial e precisamos encontrar o limite dessa função. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular limites de funções exponenciais e funções trigonométricas, além de entender como aplicar essas ideias em funções vetoriais.

Passo 2

Vamos começar analisando cada componente da função vetorial separadamente. A função tem duas partes:
  1. : Aqui, é uma função exponencial na direção do vetor .
  2. : A função é a cosecante de , que é , e está na direção do vetor .
Para encontrar o limite da função vetorial , precisamos encontrar os limites de cada uma dessas componentes individualmente.

Passo 3

Vamos calcular o limite de quando tende a algum valor específico. Geralmente, consideramos tendendo ao infinito ou a zero, mas o enunciado não especificou. Vamos considerar tendendo ao infinito:
Isso significa que a componente tende a infinito na direção .

Passo 4

Agora, vamos analisar o limite de quando tende ao infinito:
A função é periódica e oscila entre -1 e 1, então também oscila entre e dependendo do valor de . Portanto, o limite de quando tende ao infinito não existe porque a função não se aproxima de um único valor.

Passo 5

Como resultado, ao combinar as duas componentes, temos que a parte tende a infinito na direção , e a parte não possui um limite definido pois oscila indefinidamente. Portanto, o limite da função vetorial quando tende ao infinito não existe de forma finita.

Resposta

O limite da função vetorial quando tende ao infinito não existe de forma finita, já que a componente tende a infinito e a componente não converge para nenhum valor específico.

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