6- Obtenha o limite.
(a)
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Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função vetorial
e precisamos encontrar o limite dessa função. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular limites de funções exponenciais e funções trigonométricas, além de entender como aplicar essas ideias em funções vetoriais.
Passo 2
Vamos começar analisando cada componente da função vetorial separadamente. A função
tem duas partes:
-
: Aqui, é uma função exponencial na direção do vetor . -
: A função é a cosecante de , que é , e está na direção do vetor .
Para encontrar o limite da função vetorial
, precisamos encontrar os limites de cada uma dessas componentes individualmente.
Passo 3
Vamos calcular o limite de
quando
tende a algum valor específico. Geralmente, consideramos
tendendo ao infinito ou a zero, mas o enunciado não especificou. Vamos considerar
tendendo ao infinito:
Isso significa que a componente
tende a infinito na direção
.
Passo 4
Agora, vamos analisar o limite de
quando
tende ao infinito:
A função
é periódica e oscila entre -1 e 1, então
também oscila entre
e
dependendo do valor de
. Portanto, o limite de
quando
tende ao infinito não existe porque a função não se aproxima de um único valor.
Passo 5
Como resultado, ao combinar as duas componentes, temos que a parte
tende a infinito na direção
, e a parte
não possui um limite definido pois oscila indefinidamente. Portanto, o limite da função vetorial
quando
tende ao infinito não existe de forma finita.
Resposta
O limite da função vetorial
quando
tende ao infinito não existe de forma finita, já que a componente
tende a infinito e a componente
não converge para nenhum valor específico.