Descreva o(s) intervalo(s) no(s) qual(is) a função é contínua. Explique por que a função é contínua no(s) intervalo(s). Se a função tiver uma descontinuidade, identifique as condições de continuidade que não são satisfeitas.
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Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função
e precisamos descobrir em quais intervalos essa função é contínua. Para isso, vamos lembrar que uma função é contínua em um intervalo se não tiver “buracos”, “saltos” ou “pulos” nesse intervalo. Vamos precisar entender sobre continuidade de funções racionais e sobre a função valor absoluto.
Passo 2
Vamos analisar onde a função pode ter problemas de continuidade. Olha só, no denominador da fração temos
. Se
, a função não está definida porque não dá para dividir por zero. Então,
é um ponto que pode causar descontinuidade.
Passo 3
Agora, vamos simplificar a expressão
. O valor absoluto
depende do sinal de
:
- Se
(ou seja, ), então , e a função fica . - Se
(ou seja, ), então , e a função fica .
Passo 4
Vamos ver o que isso significa para a continuidade:
- Para
, a função é constante e igual a 1. Funções constantes são contínuas em todo o intervalo. - Para
, a função é constante e igual a -1. Também é contínua nesse intervalo. - No ponto
, a função não está definida, então não podemos falar de continuidade aqui.
Passo 5
Como a função é contínua em
e em
, mas não está definida em
, podemos concluir que a função tem uma descontinuidade nesse ponto. Essa descontinuidade ocorre porque o denominador se anula em
, e a função não atende à condição de estar definida nesse ponto.
Resposta
A função
é contínua nos intervalos
e
. Ela não é contínua em
porque a função não está definida nesse ponto, violando a condição de continuidade de estar definida no ponto.