Descreva o(s) intervalo(s) no(s) qual(is) a função é contínua. Explique por que a função é contínua no(s) intervalo(s). Se a função tiver uma descontinuidade, identifique as condições de continuidade que não são satisfeitas.
29. f(x) = |x + 1| / (x + 1)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função e precisamos descobrir em quais intervalos essa função é contínua. Para isso, vamos lembrar que uma função é contínua em um intervalo se não tiver “buracos”, “saltos” ou “pulos” nesse intervalo. Vamos precisar entender sobre continuidade de funções racionais e sobre a função valor absoluto.

Passo 2

Vamos analisar onde a função pode ter problemas de continuidade. Olha só, no denominador da fração temos . Se , a função não está definida porque não dá para dividir por zero. Então, é um ponto que pode causar descontinuidade.

Passo 3

Agora, vamos simplificar a expressão . O valor absoluto depende do sinal de :
  • Se (ou seja, ), então , e a função fica .
  • Se (ou seja, ), então , e a função fica .

Passo 4

Vamos ver o que isso significa para a continuidade:
  • Para , a função é constante e igual a 1. Funções constantes são contínuas em todo o intervalo.
  • Para , a função é constante e igual a -1. Também é contínua nesse intervalo.
  • No ponto , a função não está definida, então não podemos falar de continuidade aqui.

Passo 5

Como a função é contínua em e em , mas não está definida em , podemos concluir que a função tem uma descontinuidade nesse ponto. Essa descontinuidade ocorre porque o denominador se anula em , e a função não atende à condição de estar definida nesse ponto.

Resposta

A função é contínua nos intervalos e . Ela não é contínua em porque a função não está definida nesse ponto, violando a condição de continuidade de estar definida no ponto.

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