Discuta a continuidade da função no intervalo fechado. Se houver qualquer descontinuidade, determine se é removível ou não.
38. f(x) = x / (x^2 - 4x + 3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para discutir a continuidade da função em um intervalo fechado. Para isso, vamos precisar entender sobre continuidade de funções racionais e identificar pontos de descontinuidade.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir onde a função está definida. Isso significa que o denominador não pode ser zero, pois divisão por zero não é permitida. Então, vamos resolver a equação para encontrar esses pontos.

Passo 3

Resolvendo , podemos fatorar a equação:
Assim, as soluções são e . Isso significa que a função não está definida nesses pontos.

Passo 4

Agora que sabemos que a função não está definida em e , vamos verificar o tipo de descontinuidade nesses pontos. Existem dois tipos principais:
  • Descontinuidade removível: Quando o limite existe, mas a função não está definida no ponto.
  • Descontinuidade não removível: Quando o limite não existe ou é infinito.

Passo 5

Vamos analisar o comportamento da função perto desses pontos:
  • Para :
    Substituindo no denominador, vemos que ele tende a zero, o que faz o limite tender ao infinito. Portanto, a descontinuidade em é não removível.
  • Para :
    Novamente, substituindo , o denominador tende a zero, e o limite também tende ao infinito. Assim, a descontinuidade em também é não removível.

Resposta

A função possui descontinuidades nos pontos e , sendo ambas não removíveis.

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