Discuta a continuidade da função no intervalo fechado. Se houver qualquer descontinuidade, determine se é removível ou não.
38.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para discutir a continuidade da função
em um intervalo fechado. Para isso, vamos precisar entender sobre continuidade de funções racionais e identificar pontos de descontinuidade.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir onde a função está definida. Isso significa que o denominador não pode ser zero, pois divisão por zero não é permitida. Então, vamos resolver a equação
para encontrar esses pontos.
Passo 3
Resolvendo
, podemos fatorar a equação:
Assim, as soluções são
e
. Isso significa que a função não está definida nesses pontos.
Passo 4
Agora que sabemos que a função não está definida em
e
, vamos verificar o tipo de descontinuidade nesses pontos. Existem dois tipos principais:
- Descontinuidade removível: Quando o limite existe, mas a função não está definida no ponto.
- Descontinuidade não removível: Quando o limite não existe ou é infinito.
Passo 5
Vamos analisar o comportamento da função perto desses pontos:
-
Para
: Substituindono denominador, vemos que ele tende a zero, o que faz o limite tender ao infinito. Portanto, a descontinuidade em é não removível. -
Para
: Novamente, substituindo, o denominador tende a zero, e o limite também tende ao infinito. Assim, a descontinuidade em também é não removível.
Resposta
A função
possui descontinuidades nos pontos
e
, sendo ambas não removíveis.