Seja z = 3 x^2 - y^2. Determine todos os pontos nos quais |∇z| = 6.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisa encontrar todos os pontos onde o tamanho do gradiente de , denotado por , é igual a 6. Pra isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especialmente gradientes.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e é formado pelas derivadas parciais em relação a cada variável.
Então, vamos achar as derivadas parciais de :
Então, o gradiente de é:

Passo 3

Agora, vamos calcular o tamanho (ou módulo) desse gradiente. O tamanho do gradiente é dado pela raiz quadrada da soma dos quadrados das componentes do vetor gradiente.
Então,

Passo 4

Queremos que esse tamanho seja igual a 6. Portanto, estabelecemos a seguinte equação:
Para simplificar, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:

Passo 5

Agora, vamos simplificar essa equação dividindo todos os termos por 4:
Essa é a equação que representa todos os pontos onde o tamanho do gradiente de é 6.

Resposta

Todos os pontos que satisfazem a equação .

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