Seja
. Determine todos os pontos nos quais
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
e precisa encontrar todos os pontos
onde o tamanho do gradiente de
, denotado por
, é igual a 6. Pra isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especialmente gradientes.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e é formado pelas derivadas parciais em relação a cada variável.
Então, vamos achar as derivadas parciais de
:
Então, o gradiente de
é:
Passo 3
Agora, vamos calcular o tamanho (ou módulo) desse gradiente. O tamanho do gradiente
é dado pela raiz quadrada da soma dos quadrados das componentes do vetor gradiente.
Então,
Passo 4
Queremos que esse tamanho seja igual a 6. Portanto, estabelecemos a seguinte equação:
Para simplificar, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Passo 5
Agora, vamos simplificar essa equação dividindo todos os termos por 4:
Essa é a equação que representa todos os pontos
onde o tamanho do gradiente de
é 6.
Resposta
Todos os pontos
que satisfazem a equação
.