Descreva o(s) intervalo(s) no(s) qual(is) a função é contínua. Explique por que a função é contínua no(s) intervalo(s). Se a função tiver uma descontinuidade, identifique as condições de continuidade que não são satisfeitas.
11.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir em quais intervalos a função é contínua. A matéria envolve continuidade de funções, que basicamente verifica se a função não tem “quebras” ou “saltos” no seu gráfico. Para resolver, vamos precisar entender onde a função está definida e onde podem ocorrer descontinuidades.

Passo 2

Primeiro, vamos ver onde a função está definida. O denominador não pode ser zero, porque dividir por zero é indefinido na matemática. Então, a função está definida para todos os valores de exceto quando .

Passo 3

Agora, sabendo que a função não está definida em , precisamos verificar a continuidade em outros pontos. Uma função racional como essa (polinômio dividido por polinômio) é contínua em todos os lugares onde está definida. Isso porque polinômios são funções contínuas e a divisão de duas funções contínuas (quando o denominador não é zero) também é contínua.

Passo 4

Então, a função será contínua em todos os onde está definida, ou seja, em todos os números reais menos . Isso nos dá dois intervalos onde a função é contínua: de a e de a .

Passo 5

Finalmente, vamos identificar a descontinuidade. A única descontinuidade ocorre em , porque nesse ponto a função não está definida. As condições de continuidade não são satisfeitas aqui porque o limite da função quando se aproxima de 0 pelo lado esquerdo e pelo lado direito não existe de forma que a função possa ser definida ali.

Resposta

A função é contínua nos intervalos e . A descontinuidade ocorre em porque a função não está definida nesse ponto.

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