Descreva o(s) intervalo(s) no(s) qual(is) a função é contínua. Explique por que a função é contínua no(s) intervalo(s). Se a função tiver uma descontinuidade, identifique as condições de continuidade que não são satisfeitas.
13.

Passo 1

Beleza, vamos analisar o exercício que você enviou! A gente precisa descrever em quais intervalos a função é contínua. Isso está relacionado ao estudo de continuidade de funções, onde a gente verifica se a função não apresenta “quebras” nos seus gráficos. Para resolver isso, vamos precisar simplificar a função e identificar onde ela pode ter problemas, como divisão por zero.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função . Observa que o numerador é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada da seguinte forma:
Então, a função fica:

Passo 3

Agora, percebemos que o aparece tanto no numerador quanto no denominador, então podemos simplificar a função dividindo esses termos:
Isso significa que, para qualquer valor de diferente de , a função se comporta como uma reta, que sabemos ser contínua em todo o seu domínio.

Passo 4

No entanto, precisamos verificar o que acontece quando . Se substituirmos na função original:
Essa expressão é indefinida, pois não podemos dividir por zero. Portanto, a função não está definida em , o que indica uma descontinuidade nesse ponto.

Passo 5

Para resumir, a função é equivalente a para todos os valores de exceto . Como é uma função linear e continua em todo o seu domínio, a única descontinuidade ocorre em , onde a função não está definida.

Resposta

A função é contínua em todos os números reais, exceto em . Ela é contínua nos intervalos e porque pode ser simplificada para nesses intervalos, que é uma função contínua. Em , a função apresenta uma descontinuidade do tipo removível, já que o denominador se anula e a função não está definida nesse ponto.

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