Descreva o(s) intervalo(s) no(s) qual(is) a função é contínua. Explique por que a função é contínua no(s) intervalo(s). Se a função tiver uma descontinuidade, identifique as condições de continuidade que não são satisfeitas.
18.
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Passo 1
Vamos analisar o enunciado: precisamos descrever os intervalos onde a função
é contínua. Para isso, vamos utilizar conceitos de continuidade de funções racionais. Precisamos identificar onde a função está definida e verificar se há pontos de descontinuidade, como pontos onde o denominador é zero.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os valores de
que tornam o denominador igual a zero, pois nesses pontos a função não estará definida. Temos:
Resolvendo essa equação:
Então,
e
são os pontos onde o denominador é zero.
Passo 3
Agora, sabemos que a função não está definida em
e
. Fora desses pontos, o denominador é diferente de zero, então a função está bem definida. Funções racionais são contínuas em todos os reais onde estão definidas, pois são compostas por funções polinomiais, que são contínuas em todo o seu domínio.
Passo 4
Vamos resumir os intervalos de continuidade. Como a função não está definida em
e
, esses são pontos de descontinuidade. Portanto, a função é contínua em todos os outros valores de
, ou seja, nos intervalos:
Passo 5
Por fim, vamos identificar as condições de continuidade que não são satisfeitas nos pontos de descontinuidade. A continuidade de uma função em um ponto exige que ela esteja definida nesse ponto, que o limite exista e que o limite seja igual ao valor da função nesse ponto. Nos pontos
e
, a função não está definida, portanto, as condições de continuidade não são satisfeitas.
Resposta
A função
é contínua nos intervalos
,
e
. Nos pontos
e
, a função apresenta descontinuidade porque o denominador é zero, tornando a função indefinida nesses valores.
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13.
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Determine se a função é contínua em toda a reta real. Explique seu raciocínio.
8.
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21.
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Suponha que
e
. Use essa informação para calcular a derivada de cada função em
.