Descreva o(s) intervalo(s) no(s) qual(is) a função é contínua. Explique por que a função é contínua no(s) intervalo(s). Se a função tiver uma descontinuidade, identifique as condições de continuidade que não são satisfeitas.
21.
21.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para identificar os intervalos onde a função
é contínua. Para isso, vamos usar conceitos de continuidade de funções racionais, que envolvem encontrar onde a função está definida. Vamos precisar fatorar o denominador para achar os pontos problemáticos.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir onde a função
não está definida. Isso acontece quando o denominador é igual a zero, porque não podemos dividir por zero. Então, vamos resolver a equação:
Passo 3
Para resolver essa equação quadrática, vamos fatorar. Procuramos dois números que multiplicados dão 20 e somados dão -9. Esses números são -4 e -5. Então, a fatoração fica:
Passo 4
Agora, sabemos que o denominador é zero quando
ou
. Portanto, as soluções são:
Então, a função
não está definida nesses pontos.
Passo 5
Sabemos que uma função racional é contínua em todos os lugares onde está definida. Portanto,
será contínua em todos os reais, exceto nos pontos onde o denominador é zero, ou seja,
e
.
Passo 6
Vamos agora identificar os intervalos de continuidade. A linha dos números reais está dividida nesses pontos problemáticos:
- De
até 4 - De 4 até 5
- De 5 até
Em cada um desses intervalos, a função
está contínua porque não tem divisão por zero.
Passo 7
Porém, nos pontos
e
, a função apresenta descontinuidades:
- Em
: O denominador é zero e o numerador não é, o que indica uma descontinuidade do tipo assíntota vertical. - Em
: Tanto o numerador quanto o denominador são zero, sugerindo uma descontinuidade removível (um “buraco” no gráfico).
Resposta
A função
é contínua nos intervalos:
Ela apresenta descontinuidade nos pontos
e
porque o denominador se anula nesses valores, impedindo a definição da função.
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Suponha que
e
. Use essa informação para calcular a derivada de cada função em
.
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