Descreva o(s) intervalo(s) no(s) qual(is) a função é contínua. Explique por que a função é contínua no(s) intervalo(s). Se a função tiver uma descontinuidade, identifique as condições de continuidade que não são satisfeitas.
21.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para identificar os intervalos onde a função é contínua. Para isso, vamos usar conceitos de continuidade de funções racionais, que envolvem encontrar onde a função está definida. Vamos precisar fatorar o denominador para achar os pontos problemáticos.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir onde a função não está definida. Isso acontece quando o denominador é igual a zero, porque não podemos dividir por zero. Então, vamos resolver a equação:

Passo 3

Para resolver essa equação quadrática, vamos fatorar. Procuramos dois números que multiplicados dão 20 e somados dão -9. Esses números são -4 e -5. Então, a fatoração fica:

Passo 4

Agora, sabemos que o denominador é zero quando ou . Portanto, as soluções são:
Então, a função não está definida nesses pontos.

Passo 5

Sabemos que uma função racional é contínua em todos os lugares onde está definida. Portanto, será contínua em todos os reais, exceto nos pontos onde o denominador é zero, ou seja, e .

Passo 6

Vamos agora identificar os intervalos de continuidade. A linha dos números reais está dividida nesses pontos problemáticos:
  • De até 4
  • De 4 até 5
  • De 5 até
Em cada um desses intervalos, a função está contínua porque não tem divisão por zero.

Passo 7

Porém, nos pontos e , a função apresenta descontinuidades:
  • Em : O denominador é zero e o numerador não é, o que indica uma descontinuidade do tipo assíntota vertical.
  • Em : Tanto o numerador quanto o denominador são zero, sugerindo uma descontinuidade removível (um “buraco” no gráfico).

Resposta

A função é contínua nos intervalos:
Ela apresenta descontinuidade nos pontos e porque o denominador se anula nesses valores, impedindo a definição da função.

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Suponha que e . Use essa informação para calcular a derivada de cada função em .
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